Текст учебника. Урок 14. Понятие о пределе и непрерывности функции. Задачи, приводящие к понятию производной.

1. Интуитивное понятие предела функции

1.1. Предел функции в точке
Рассмотрим функцию $y=f(x)$. Что происходит со значением функции, когда аргумент $x$ приближается к некоторому числу $a$? Если значения $f(x)$ при этом приближаются к некоторому числу $L$, то говорят, что $L$ — предел функции при $x$, стремящемся к $a$.

• Нестрогое определение: Предел функции $f(x)$ при $x\to a$ равен $L$, если для всех $x$, достаточно близких к $a$ (но не равных $a$), значение функции $f(x)$ как угодно близко к $L$.

Пример 1: Рассмотрим функцию $f(x)=2x+1$ при $x\to 3$. Если $x=2.9$, $f=6.8$; $x=2.99$, $f=6.98$; $x=3.01$, $f=7.02$. Очевидно, что значения функции приближаются к 7. Говорим: ${\lim }_{x\to 3}(2x+1)=7$.

Пример 2: Рассмотрим функцию $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$. В точке $x=1$ функция не определена. Но что происходит при приближении к 1? Сократим дробь: при $x\mathrm{\ne }1$, $f(x)=x+1$. Значит, при $x\to 1$, $f(x)\to 2$. Предел существует и равен 2, хотя сама функция в точке 1 не существует.

1.2. Предел на бесконечности
Рассмотрим поведение функции при неограниченном возрастании аргумента ($x\to +\mathrm{\infty }$ или $x\to -\mathrm{\infty }$).

Пример 3: $f(x)=\frac{1}{x}$. При $x\to +\mathrm{\infty }$, $1\mathrm{/}x$ становится очень маленьким положительным числом, стремясь к 0. Говорим: ${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}\frac{1}{x}=0$. Это значит, что график функции приближается к оси $Ox$ (горизонтальная асимптота).

2. Понятие непрерывности функции

2.1. Наглядное представление
Непрерывность функции — это свойство, которое на интуитивном уровне означает, что график функции можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги.

2.2. Определение через предел
Строгое определение: Функция $y=f(x)$ называется непрерывной в точке $a$, если:

1. Она определена в этой точке ($f(a)$ существует).

2. Существует предел функции при $x\to a$.

3. Этот предел равен значению функции в точке $a$: ${\lim }_{x\to a}f(x)=f(a)$.

Если функция непрерывна в каждой точке своей области определения, то её называют непрерывной функцией.

2.3. Непрерывность элементарных функций
Важнейший факт: все изученные нами элементарные функции (степенные, тригонометрические, показательные, логарифмические, а также их комбинации) являются непрерывными на всей своей области определения.

• Примеры: Многочлены ( $y=x^2$ ) непрерывны на $\mathbb{R}$. Функция $y=\sin x$ непрерывна на $\mathbb{R}$. Функция $y=\frac{1}{x}$ непрерывна на каждом из промежутков $(-\mathrm{\infty };0)$ и $(0;+\mathrm{\infty })$, но в точке $x=0$ имеет разрыв (там она не определена).

3. Задача о мгновенной скорости (физический смысл производной)

Рассмотрим движение материальной точки вдоль прямой. Пусть $s(t)$ — закон движения, т.е. зависимость пройденного пути $s$ от времени $t$ .

3.1. Средняя скорость
За промежуток времени от $t_0$ до $t_0+\mathrm{\Delta }t$ точка проходит путь $\mathrm{\Delta }s=s(t_0+\mathrm{\Delta }t)-s(t_0)$.
Средняя скорость движения за этот промежуток:

$$v_{\text{ср}}=\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}$$

Это отношение приращения пути к приращению времени .

3.2. Мгновенная скорость
Средняя скорость не всегда точно описывает движение в конкретный момент времени (например, при разгоне). Чтобы получить скорость в момент времени $t_0$ (мгновенную скорость), нужно брать всё меньшие и меньшие промежутки времени $\mathrm{\Delta }t$, устремляя его к нулю.

Мгновенная скорость — это предел, к которому стремится средняя скорость при стремлении промежутка времени к нулю :

$$v(t_0)=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\frac{s(t_0+\mathrm{\Delta }t)-s(t_0)}{\mathrm{\Delta }t}$$

Пример 4: Точка движется по закону $s(t)=t^2+2t$ (путь в метрах, время в секундах). Найти мгновенную скорость в момент $t_0=3$ с .

• Решение:

  1. Найдём приращение времени $\mathrm{\Delta }t$: $t=3+\mathrm{\Delta }t$.

  2. Найдём приращение пути: $\mathrm{\Delta }s=s(3+\mathrm{\Delta }t)-s(3)=((3+\mathrm{\Delta }t{)}^2+2(3+\mathrm{\Delta }t))-(9+6)$
     $=(9+6\mathrm{\Delta }t+(\mathrm{\Delta }t{)}^2+6+2\mathrm{\Delta }t)-15=(15+8\mathrm{\Delta }t+(\mathrm{\Delta }t{)}^2)-15=8\mathrm{\Delta }t+(\mathrm{\Delta }t{)}^2$.

  3. Найдём среднюю скорость: $v_{\text{ср}}=\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{8\mathrm{\Delta }t+(\mathrm{\Delta }t{)}^2}{\mathrm{\Delta }t}=8+\mathrm{\Delta }t$ (при $\mathrm{\Delta }t\mathrm{\ne }0$).

  4. Найдём мгновенную скорость как предел при $\mathrm{\Delta }t\to 0$: $v(3)={\lim }_{\mathrm{\Delta }t\to 0}(8+\mathrm{\Delta }t)=8$.
     Ответ: 8 м/с.

Вывод: Мгновенная скорость есть производная пути по времени. Это физический смысл производной .

4. Задача о касательной к графику функции (геометрический смысл производной)

4.1. Понятие касательной
Что такое касательная к кривой? В школе часто говорят: "прямая, имеющая с кривой одну общую точку". Это неверно (например, ось $Oy$ пересекает параболу $y=x^2$ в одной точке, но не является касательной). Дадим правильное определение.

Рассмотрим график функции $y=f(x)$. Возьмём на нём точку $M_0(x_0;f(x_0))$ и другую точку $M(x_0+\mathrm{\Delta }x;f(x_0+\mathrm{\Delta }x))$. Проведём через них прямую — секущую .

Если мы будем приближать точку $M$ к $M_0$ вдоль графика (т.е. $\mathrm{\Delta }x\to 0$), то секущая будет поворачиваться и стремиться к некоторому предельному положению. Это предельное положение секущей и называется касательной к графику функции в точке $M_0$ .

4.2. Угловой коэффициент касательной
Угловой коэффициент (тангенс угла наклона) секущей $M_{0}M$ равен:

$$k_{\text{сек}}=\mathrm{t}\mathrm{g}\phi =\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{\mathrm{\Delta }f}{\mathrm{\Delta }x}$$

Это отношение приращения функции к приращению аргумента.

Угловой коэффициент касательной $k_{\text{кас}}$ — это предел углового коэффициента секущей при стремлении $\mathrm{\Delta }x$ к нулю :

$$k_{\text{кас}}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }f}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}$$

Пример 5: Найти угловой коэффициент касательной к параболе $f(x)=x^2$ в точке $x_0=1$.

• Решение:

  1. Найдём приращение функции в точке $x_0=1$: $\mathrm{\Delta }f=f(1+\mathrm{\Delta }x)-f(1)=(1+\mathrm{\Delta }x{)}^2-1=1+2\mathrm{\Delta }x+(\mathrm{\Delta }x{)}^2-1=2\mathrm{\Delta }x+(\mathrm{\Delta }x{)}^2$.

  2. Найдём отношение: $\frac{\mathrm{\Delta }f}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{2\mathrm{\Delta }x+(\mathrm{\Delta }x{)}^2}{\mathrm{\Delta }x}=2+\mathrm{\Delta }x$.

  3. Найдём предел при $\mathrm{\Delta }x\to 0$: $k_{\text{кас}}={\lim }_{\mathrm{\Delta }x\to 0}(2+\mathrm{\Delta }x)=2$.
     Ответ: 2. Это значит, касательная к параболе $y=x^2$ в точке (1;1) наклонена к оси $Ox$ под углом, тангенс которого равен 2.

Вывод: Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику функции в этой точке. Это геометрический смысл производной .

5. Обобщение

Мы рассмотрели две разные задачи:

• Физическую: о мгновенной скорости прямолинейного движения.

• Геометрическую: о касательной к графику функции.

Математическая суть этих задач одна и та же: вычисление предела отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Этот предел и называется производной функции в точке.

6. Итоги урока и домашнее задание

Подведение итогов:
Сегодня мы ввели интуитивное понятие предела и непрерывности. Мы увидели, что задачи из физики и геометрии приводят к одной и той же математической модели. На следующем уроке мы дадим строгое определение производной и начнём учиться её вычислять.

Домашнее задание:

1. Повторить понятие предела и непрерывности.

2. Задача на физический смысл: Точка движется по закону $s(t)=3t^2-2t+1$. Используя алгоритм из примера 4, найти мгновенную скорость в момент $t_0=2$.

3. Задача на геометрический смысл: Найти угловой коэффициент касательной к графику функции $f(x)=2x^2-x$ в точке $x_0=1$.

4. (Творческое задание) Подумать и записать, где ещё в физике или других науках может встречаться понятие "скорость изменения" (например, скорость химической реакции, сила тока как скорость изменения заряда).