Текст учебника. Урок 16. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной.

1. Повторение геометрического смысла производной

Напомним ключевой факт, установленный на предыдущих уроках:
Геометрический смысл производной: Значение производной функции $y=f(x)$ в точке $x_0$ равно угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику этой функции в точке $M(x_0;f(x_0))$.

$$f^{\mathrm{\prime }}(x_0)=k_{\text{кас}}=\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha$$​

где $\alpha$ — угол наклона касательной к положительному направлению оси $Ox$.

Пример 1: Для функции $f(x)=x^2$ мы нашли, что $f^{\mathrm{\prime }}(1)=2$. Это означает, что касательная к параболе $y=x^2$ в точке (1;1) наклонена к оси $Ox$ под углом, тангенс которого равен 2.

2. Вывод уравнения касательной

2.1. Общий вид прямой с заданным угловым коэффициентом
Любая невертикальная прямая на плоскости может быть задана уравнением:

$$y=kx+b$$

где $k$ — угловой коэффициент, $b$ — свободный член (ордината точки пересечения с осью $Oy$).

Для касательной в точке $M(x_0;f(x_0))$ угловой коэффициент нам уже известен: $k=f^{\mathrm{\prime }}(x_0)$. Подставим его в уравнение:

$$y=f^{\mathrm{\prime }}(x_0)\cdot x+b$$

2.2. Нахождение свободного члена $b$
Так как точка касания $M(x_0;f(x_0))$ лежит на касательной, её координаты должны удовлетворять уравнению прямой. Подставим $x=x_0$и $y=f(x_0)$:

$$f(x_0)=f^{\mathrm{\prime }}(x_0)\cdot x_0+b$$

Отсюда выражаем $b$:

$$b=f(x_0)-f^{\mathrm{\prime }}(x_0)\cdot x_0$$

3.3. Общий вид уравнения касательной
Подставим найденное $b$ обратно в уравнение прямой:

$$y=f^{\mathrm{\prime }}(x_0)\cdot x+f(x_0)-f^{\mathrm{\prime }}(x_0)\cdot x_0$$

Перегруппируем слагаемые и получим окончательную формулу уравнения касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке $x_0$:

$$\boxed{{\displaystyle y=f(x_0)+f^{\mathrm{\prime }}(x_0)\cdot (x-x_0)}}$$

3. Алгоритм составления уравнения касательной

Для практического применения удобно использовать следующий пошаговый алгоритм:

1. Обозначить абсциссу точки касания $x_0$ (если она не дана явно, её нужно найти из условий задачи).

2. Вычислить значение функции в точке касания: $y_0=f(x_0)$.

3. Найти производную функции $f^{\mathrm{\prime }}(x)$.

4. Вычислить значение производной в точке касания: $f^{\mathrm{\prime }}(x_0)$.

5. Подставить найденные значения $x_0,y_0,f^{\mathrm{\prime }}(x_0)$ в формулу уравнения касательной $y=y_0+f^{\mathrm{\prime }}(x_0)(x-x_0)$.

6. Упростить полученное уравнение (раскрыть скобки, привести подобные), если это требуется.

4. Примеры применения

Пример 2 (базовый): Составить уравнение касательной к графику функции $f(x)=x^2-3x+2$ в точке с абсциссой $x_0=2$.

Решение по алгоритму:

1. $x_0=2$.

2. $y_0=f(2)=2^2-3\cdot 2+2=4-6+2=0$.

3. Производная: $f^{\mathrm{\prime }}(x)=2x-3$.

4. $f^{\mathrm{\prime }}(2)=2\cdot 2-3=4-3=1$.

5. Подставляем в формулу: $y=0+1\cdot (x-2)$.

6. Ответ: $y=x-2$.

Пример 3 (с упрощением): Составить уравнение касательной к графику функции $f(x)=\sin x$ в точке $x_0=\pi$.

Решение:

1. $x_0=\pi$.

2. $y_0=\sin \pi =0$.

3. $f^{\mathrm{\prime }}(x)=\cos x$.

4. $f^{\mathrm{\prime }}(\pi )=\cos \pi =-1$.

5. $y=0+(-1)\cdot (x-\pi )$.

6. Ответ: $y=-x+\pi$.

Пример 4 (более сложный): Найти уравнение касательной к графику функции $f(x)=\frac{1}{x}$ в точке с ординатой $y_0=\frac{1}{2}$.

Решение:
Здесь нужно сначала найти $x_0$.

1. Найдём $x_0$ из условия $f(x_0)=\frac{1}{2}$:

   \frac{1}{x_0} = \frac{1}{2} \Rightarrow x_0 = 2 \].

2. $y_0=\frac{1}{2}$ (уже дано).

3. Производная: $f^{\mathrm{\prime }}(x)=-\frac{1}{x^2}$.

4. $f^{\mathrm{\prime }}(2)=-\frac{1}{4}$.

5. Уравнение: $y=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}(x-2)=\frac{1}{2}-\frac{x}{4}+\frac{1}{2}=1-\frac{x}{4}$.

6. Ответ: $y=1-\frac{x}{4}$ или $y=-\frac{x}{4}+1$.

Пример 5 (применение условия касания): Найти угловой коэффициент касательной к графику функции $f(x)=x^3-2x$ в точке $x_0=-1$.

Решение:
Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания.

1. $f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-2$.

2. $f^{\mathrm{\prime }}(-1)=3\cdot (-1{)}^2-2=3-2=1$.
   Ответ: $k=1$.

5. Закрепление материала

Работа в парах:
Составить уравнение касательной к графику функции:

1. $f(x)=x^3-3x^2$ в точке $x_0=1$.

   • Проверка: $f(1)=-2$, $f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-6x$, $f^{\mathrm{\prime }}(1)=-3$. Уравнение: $y=-2-3(x-1)=-2-3x+3=-3x+1$.

2. $f(x)=\cos x$ в точке $x_0=\frac{\pi }{2}$.

   • Проверка: $f(\pi \mathrm{/}2)=0$, $f^{\mathrm{\prime }}(x)=-\sin x$, $f^{\mathrm{\prime }}(\pi \mathrm{/}2)=-1$. Уравнение: $y=0-1\cdot (x-\pi \mathrm{/}2)=-x+\frac{\pi }{2}$.

6. Итоги урока и домашнее задание

Подведение итогов:
Мы вывели уравнение касательной и закрепили алгоритм его составления. Геометрический смысл производной позволяет нам связывать анализ функций (через производную) с геометрией, что открывает широкие возможности для решения прикладных задач (например, нахождение касательной, параллельной заданной прямой).

Домашнее задание:

1. Выучить формулу уравнения касательной и алгоритм её составления.

2. Составить уравнение касательной к графику функции $f(x)=x^2-5x+6$ в точке с абсциссой $x_0=3$.

3. Составить уравнение касательной к графику функции $f(x)=\sqrt{x}$ в точке с ординатой $y_0=2$.

4. (Творческое задание) Найдите уравнение касательной к графику функции $f(x)=x^2+2x-3$, которая параллельна прямой $y=4x+1$. (Подсказка: у параллельных прямых угловые коэффициенты равны).