Текст учебника. Урок 1. Корень n-й степени и его свойства.

1. Организационный момент и актуализация знаний

Вопросы классу:

1. Что называется квадратным корнем из числа $a$ ($\sqrt{a}$)?
   Ответ: Такое число $b$, что $b^2=a$, где $b\ge 0$.

2. Что называется кубическим корнем из числа $a$ ($\sqrt[3]{a}$)?
   Ответ: Такое число $b$, что $b^3=a$.

3. Имеет ли смысл выражение $\sqrt{-4}$? А $\sqrt[3]{-8}$?
   Вывод: Квадратный корень из отрицательного числа извлечь нельзя (в рамках действительных чисел), а кубический — можно. Почему? Потому что любое число в квадрате — неотрицательно, а в кубе может быть отрицательным.

2. Определение корня n-й степени

Обобщим понятие корня. Пусть $n$ — натуральное число, большее 1 ($n\in \mathbb{N},n>1$).

Определение: Корнем n-й степени из числа $a$ называется такое число $b$, $n$-я степень которого равна $a$ ($b^n=a$).

Пример 1:

• Для $n=4$, $a=16$: $b^4=16$. Какие числа подходят? $2^4=16$ и $(-2{)}^4=16$. Значит, корнями 4-й степени из 16 являются числа 2 и -2.

• Для $n=3$, $a=-27$: $b^3=-27$. $(-3{)}^3=-27$. Значит, корень 3-й степени из -27 равен -3.

• Для $n=4$, $a=-16$: $b^4=-16$. Такого числа не существует, так как любое число в 4-й степени неотрицательно.

Проблема: Мы видим, что при четных $n$ корней может быть два (положительный и отрицательный), а при нечетных — один. Чтобы избежать неоднозначности, вводят понятие арифметического корня.

3. Арифметический корень натуральной степени

Определение: Арифметическим корнем n-й степени из неотрицательного числа $a$ ($a\ge 0$) называется неотрицательное число $b$ ($b\ge 0$), $n$-я степень которого равна $a$. Обозначается: $\sqrt[n]{a}=b$.

Пример 2:

• $\sqrt[4]{16}=2$ (хотя (-2) тоже является корнем уравнения $x^4=16$, но не является арифметическим).

• $\sqrt[3]{8}=2$.

4. Корень нечётной степени из отрицательного числа

Для корней нечетной степени ограничение неотрицательности снимается.
Если $n$ — нечетное число ($n=2k+1$), то для любого отрицательного числа $a$ существует единственный отрицательный корень. Его обозначают тем же знаком $\sqrt[n]{a}$.

Пример 3:

• $\sqrt[3]{-27}=-3$, так как $(-3{)}^3=-27$.

• $\sqrt[5]{-32}=-2$, так как $(-2{)}^5=-32$.

Важно! Для четного $n$ выражение $\sqrt[n]{a}$ имеет смысл только при $a\ge 0$ и является неотрицательным числом.

5. Свойства арифметического корня n-й степени

Для арифметических корней (т.е. для неотрицательных подкоренных выражений и четных/нечетных степеней с учетом ОДЗ) справедливы следующие свойства. Докажем их, опираясь на определение и свойства степени.

Пусть $a\ge 0,b\ge 0$, а $n,m,k$ — натуральные числа, большие 1.

1. Корень из произведения: $\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}$
   Доказательство:
   Пусть $\sqrt[n]{a}=x$, тогда $x^n=a$.
   Пусть $\sqrt[n]{b}=y$, тогда $y^n=b$.
   Рассмотрим произведение $(x\cdot y{)}^n=x^n\cdot y^n=a\cdot b$.
   По определению, $\sqrt[n]{ab}$ — это такое неотрицательное число, $n$-я степень которого равна $ab$. Число $x\cdot y$ является таким числом. Следовательно, $\sqrt[n]{ab}=x\cdot y=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}$.
   Пример: $\sqrt[3]{8\cdot 27}=\sqrt[3]{216}=6$ и $\sqrt[3]{8}\cdot \sqrt[3]{27}=2\cdot 3=6$.

2. Корень из дроби: $\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$, где $b>0$.
   Доказательство:
   Пусть $\sqrt[n]{a}=x$, $\sqrt[n]{b}=y$. Тогда $x^n=a,y^n=b$.
   Рассмотрим ${\left(\frac{x}{y}\right)}^n=\frac{x^n}{y^n}=\frac{a}{b}$.
   Число $\frac{x}{y}$ — неотрицательное и его $n$-я степень равна $\frac{a}{b}$. Значит, оно является арифметическим корнем. Следовательно, $\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{x}{y}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$.
   Пример: $\sqrt[4]{\frac{81}{16}}=\frac{\sqrt[4]{81}}{\sqrt[4]{16}}=\frac{3}{2}$.

3. Возведение корня в степень: $(\sqrt[n]{a}{)}^k=\sqrt[n]{a^k}$, где $k\in \mathbb{N}$.
   Доказательство:
   Пусть $\sqrt[n]{a}=x$, тогда $x^n=a$.
   Рассмотрим $(\sqrt[n]{a}{)}^k=x^k$.
   Найдем $(x^k{)}^n=x^{kn}=(x^n{)}^k=a^k$.
   Так как $x^k\ge 0$, то по определению корня n-й степени из $a^k$ получаем: $x^k=\sqrt[n]{a^k}$. Значит, $(\sqrt[n]{a}{)}^k=\sqrt[n]{a^k}$.
   Пример: $(\sqrt[3]{4}{)}^2=\sqrt[3]{4^2}=\sqrt[3]{16}$.

4. Извлечение корня из корня: $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}$.
   Доказательство:
   Пусть $\sqrt[n]{a}=x$, тогда $x^n=a$.
   Пусть $\sqrt[m]{x}=y$, тогда $y^m=x$.
   Тогда $y^{mn}=(y^m{)}^n=x^n=a$.
   Так как $y\ge 0$, то по определению корня $mn$-й степени из $a$ получаем: $y=\sqrt[mn]{a}$.
   Но $y=\sqrt[m]{x}=\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}$. Следовательно, $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}$.
   Пример: $\sqrt[3]{\sqrt[4]{4096}}=\sqrt[12]{4096}$. (Так как $2^{12}=4096$, ответ: 2).