Текст учебника. Урок 3. Степенная функция, её свойства и график.

1. Организационный момент и актуализация знаний

Повторение:

1. Какие функции вам уже известны? (Линейная, квадратичная, обратная пропорциональность и т.д.)

2. Что такое область определения функции ($D(y)$)? Область значений ($E(y)$)?

3. Какая функция называется четной? Нечетной?

Мотивация:
На предыдущих уроках мы научились возводить числа в любую рациональную степень и извлекать корни. Сегодня мы рассмотрим функции, где переменная $x$ возводится в некоторую степень. Такие функции называются степенными. Они широко используются в физике, экономике и естествознании для описания различных процессов.

2. Определение степенной функции

Определение: Степенной функцией называется функция вида $y=x^r$, где $r$ — заданное рациональное число ($r\in \mathbb{Q}$).

Замечание: Мы будем рассматривать функции для тех значений $x$, при которых выражение $x^r$ имеет смысл (как степень с рациональным показателем или как корень).

Вид графика и свойства функции сильно зависят от показателя $r$. Проведем небольшое исследование, работая в группах.

3. Случай 1: r = n r=n — натуральное число ( y = x n y=x n )

Примеры: $y=x^2$, $y=x^3$, $y=x^4$.

1. Если $n$ — четное ($n=2k$):

   • Область определения: $D(y)=\mathbb{R}$ (все действительные числа).

   • Четность/нечетность: Функция четная, так как $(-x{)}^{2k}=x^{2k}$. График симметричен относительно оси $OY$.

   • Область значений: $E(y)=[0;+\mathrm{\infty })$.

   • График: Напоминает параболу $y=x^2$ (для $n=2$), но при $n>2$ ветви прижимаются к оси $OX$ при $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }<1$ и круче поднимаются вверх при $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }>1$.

   • Пример: $y=x^2$, $y=x^4$.

2. Если $n$ — нечетное ($n=2k+1$):

   • Область определения: $D(y)=\mathbb{R}$.

   • Четность/нечетность: Функция нечетная, так как $(-x{)}^{2k+1}=-x^{2k+1}$. График симметричен относительно начала координат.

   • Область значений: $E(y)=\mathbb{R}$.

   • График: Напоминает кубическую параболу $y=x^3$. Функция возрастает на всей области определения.

   • Пример: $y=x^3$, $y=x^5$.

4. Случай 2: r = − n r=−n — целое отрицательное ( y = x − n = 1 x n y=x −n = x n 1 ​ )

Примеры: $y=x^{-1}=\frac{1}{x}$, $y=x^{-2}=\frac{1}{x^2}$.

1. Если $n$ — четное ($r=-2,-4,\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}$):

   • Область определения: $D(y)=\mathbb{R}\setminus \{0\}$ (все числа, кроме 0).

   • Четность/нечетность: Функция четная ($y(-x)=y(x)$).

   • Область значений: $E(y)=(0;+\mathrm{\infty })$ (так как дробь положительна).

   • Поведение: График состоит из двух ветвей, симметричных относительно оси $OY$, расположенных в I и II четвертях.

   • Пример: $y=x^{-2}$.

2. Если $n$ — нечетное ($r=-1,-3,\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}$):

   • Область определения: $D(y)=\mathbb{R}\setminus \{0\}$.

   • Четность/нечетность: Функция нечетная ($y(-x)=-y(x)$).

   • Область значений: $E(y)=\mathbb{R}\setminus \{0\}$.

   • Поведение: График — гипербола, ветви которой расположены в I и III четвертях (для $y=1\mathrm{/}x$).

   • Пример: $y=x^{-1}$, $y=x^{-3}$.

5. Случай 3: r = p / q r=p/q — рациональное число (дробное)

Здесь важно, является ли знаменатель $q$ четным или нечетным.

А. $r=\frac{m}{n}$ — положительное дробное число ($y=x^{\frac{m}{n}}$)

1. $n$ — нечетное (например, $y=x^{\frac{2}{3}}$):

   • Корень нечетной степени существует для любого $x$.

   • Область определения: $D(y)=\mathbb{R}$.

   • График: Если $m$ четное — функция четная? (Для $y=x^{2\mathrm{/}3}$: $(-x{)}^{2\mathrm{/}3}=\sqrt[3]{(-x{)}^2}=\sqrt[3]{x^2}=x^{2\mathrm{/}3}$, да, четная). Если $m$ нечетное — функция нечетная ( $y=x^{1\mathrm{/}3}$ ).

2. $n$ — четное (например, $y=x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$, $y=x^{\frac{3}{4}}$):

   • Корень четной степени определен только для неотрицательных чисел.

   • Область определения: $D(y)=[0;+\mathrm{\infty })$.

   • Свойства: Функция возрастающая. Ни четная, ни нечетная (из-за ОДЗ). График похож на ветвь параболы, "лежащей на боку".

Б. $r=-\frac{m}{n}$ — отрицательное дробное число ($y=x^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{x^{\frac{m}{n}}}$)

Здесь область определения зависит от знаменателя $n$ (как в случае А), но добавляется условие $x\mathrm{\ne }0$, так как функция стоит в знаменателе.

1. $n$ — нечетное ($y=x^{-\frac{2}{3}}$):

   • $D(y)=\mathbb{R}\setminus \{0\}$.

2. $n$ — четное ($y=x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{x}}$):

   • $D(y)=(0;+\mathrm{\infty })$.

Итоговая таблица (обобщение)