Текст учебника. Урок 4. Иррациональные уравнения.

1. Организационный момент и актуализация знаний

Повторение (фронтальный опрос):

1. Что называется корнем уравнения? (Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство.)

2. Что значит «решить уравнение»? (Найти все его корни или доказать, что их нет.)

3. Какие уравнения называются равносильными? (Уравнения, имеющие одни и те же корни, или оба не имеющие корней.)

4. Вычислите устно: $\sqrt{16}$, $\sqrt[3]{-8}$, $\sqrt{(-3{)}^2}$. (4; -2; 3)

Мотивация:
Мы умеем решать линейные и квадратные уравнения. Но как быть, если переменная находится под знаком корня? Такие уравнения называются иррациональными. Они часто встречаются в физике при расчетах расстояний, скоростей, в геометрии. Сегодня мы научимся их решать.

2. Определение и проблема посторонних корней

Определение: Иррациональным называется уравнение, в котором переменная содержится под знаком корня (радикала) или под знаком операции возведения в дробную степень.

Пример 1: $\sqrt{x+2}=3$, $\sqrt[3]{2x-1}=4$, $\sqrt{x+1}+x=5$.

В чем сложность? Основной метод решения таких уравнений — возведение обеих частей в степень (для избавления от корня). Но эта операция не всегда является равносильной.

Теорема 1 (о равносильности):

1. Если обе части уравнения возвести в нечетную степень, то получится уравнение, равносильное исходному.
   Пример: $\sqrt[3]{x}=2$ равносильно $x=8$.

2. Если обе части уравнения возвести в четную степень, то полученное уравнение может иметь посторонние корни. Оно будет следствием исходного.
   Причина: При возведении в квадрат теряется информация о знаке обеих частей. Из равенства квадратов ($a^2=b^2$) не следует равенство самих чисел ($a=b$), возможно $a=-b$.

Пример 2 (проблема):
Рассмотрим простейшее уравнение $\sqrt{x}=-2$.

• Оно не имеет корней (корень четной степени не может быть отрицательным).

• Возведем обе части в квадрат: $(\sqrt{x}{)}^2=(-2{)}^2$ => $x=4$.

• Число 4 является посторонним корнем, так как не удовлетворяет исходному уравнению ($\sqrt{4}=2\mathrm{\ne }-2$).

Вывод: При возведении в четную степень обязательна проверка найденных корней подстановкой в исходное уравнение. Либо нужно следить за равносильностью, вводя дополнительные условия (например, условие неотрицательности обеих частей).

3. Метод возведения в степень (с учетом ОДЗ)

Рассмотрим классический подход к решению уравнения вида $\sqrt{f(x)}=g(x)$.

Это уравнение равносильно системе:

$$\{\begin{array}{ll}g(x)\ge 0& \text{(условие неотрицательности правой части)}\\ f(x)=(g(x){)}^2& \text{(уравнение-следствие после возведения в квадрат)}\end{array}$$

Почему так? Корень четной степени всегда неотрицателен, значит и правая часть должна быть неотрицательной. При выполнении этого условия возведение в квадрат не приведет к появлению посторонних корней.

Пример 3 (решаем вместе):
Решить уравнение $\sqrt{2x+1}=x-1$.

Решение:

1. Составим систему условий (равносильный переход):

   $$\{\begin{array}{l}x-1\ge 0\\ 2x+1=(x-1{)}^2\end{array}$$

2. Решаем первое неравенство: $x\ge 1$.

3. Решаем второе уравнение:
   $2x+1=x^2-2x+1$
   $0=x^2-4x$
   $x(x-4)=0$
   $x=0$ или $x=4$.

4. Проверяем условие $x\ge 1$:
   $x=0$ — не подходит (посторонний корень).
   $x=4$ — подходит ($4\ge 1$).
   Ответ: $x=4$.

4. Метод замены переменной

Используется для уравнений вида $f(\sqrt[n]{g(x)})=0$, где явно прослеживается повторяющееся выражение.

Пример 4:
Решить уравнение $x^2+3x-2\sqrt{x^2+3x-1}=2$.

Решение:

1. Заметим, что выражения $x^2+3x$ и $x^2+3x-1$ похожи. Введем замену. Чтобы удобнее было избавиться от корня, обозначим $t=\sqrt{x^2+3x-1}$. Тогда $t\ge 0$.

2. Выразим $x^2+3x$ через $t$: $x^2+3x=t^2+1$.

3. Подставим в исходное уравнение:
   $(t^2+1)-2t=2$
   $t^2+1-2t-2=0$
   $t^2-2t-1=0$

4. Решаем квадратное уравнение:
   $D=4+4=8$, $\sqrt{D}=2\sqrt{2}$
   $t=\frac{2\pm 2\sqrt{2}}{2}=1\pm \sqrt{2}$.

5. Учитываем условие $t\ge 0$:
   $t_1=1+\sqrt{2}\approx 2.41>0$ — подходит.
   $t_2=1-\sqrt{2}\approx -0.41<0$ — не подходит.

6. Возвращаемся к переменной $x$:
   $\sqrt{x^2+3x-1}=1+\sqrt{2}$
   Так как правая часть положительна, возводим в квадрат без опасений:
   $x^2+3x-1=(1+\sqrt{2}{)}^2$
   $x^2+3x-1=1+2\sqrt{2}+2$
   $x^2+3x-1=3+2\sqrt{2}$
   $x^2+3x-4-2\sqrt{2}=0$.
   Замечание: Полученное уравнение имеет громоздкий дискриминант. В данном примере мы акцентируем внимание именно на идее замены. Для экономии времени на уроке можно остановиться на моменте возврата к замене, либо подобрать числа так, чтобы корни были красивыми (например, в уравнении $x^2+2x+\sqrt{x^2+2x+8}=0$).

5. Метод выделения полного квадрата (или замена с подкоренным выражением)

Иногда иррациональные уравнения удается свести к простейшему виду, если заметить, что подкоренное выражение является полным квадратом.

Пример 5:
Решить уравнение $\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}=2$.

Решение:

1. Найдем ОДЗ: $x\ge 1$.

2. Попробуем преобразовать подкоренное выражение. Заметим, что $x+2\sqrt{x-1}=(x-1)+2\sqrt{x-1}+1=(\sqrt{x-1}{)}^2+2\sqrt{x-1}+1=(\sqrt{x-1}+1{)}^2$.

3. Тогда уравнение примет вид:
   $\sqrt{(\sqrt{x-1}+1{)}^2}=2$.

4. Так как $\sqrt{a^2}=\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }$, получаем:
   $\mathrm{\mid }\sqrt{x-1}+1\mathrm{\mid }=2$.

5. Так как $\sqrt{x-1}+1>0$ для всех $x$ из ОДЗ, модуль можно снять:
   $\sqrt{x-1}+1=2$
   $\sqrt{x-1}=1$

6. Возводим в квадрат (правая часть неотрицательна):
   $x-1=1$
   $x=2$.

7. Проверка ОДЗ: $2\ge 1$, подходит.
   Ответ: $x=2$.