Текст учебника. Урок 5. Показательная функция, её свойства и график.

Сайт:	sdavalka.ru \| тренажёр, уроки, видео для подготовки к школьным экзаменам
Курс:	Алгебра, полный курс для 11 класса
Книга:	Текст учебника. Урок 5. Показательная функция, её свойства и график.

Напечатано::	Гость
Дата:	среда, 16 сентября 2026, 10:02

Описание

Тема урока: Показательная функция, её свойства и график.

Тип урока: Урок изучения нового материала (урок-исследование).

Цели урока:

Предметные: Сформировать понятие показательной функции, изучить её свойства в зависимости от основания. Научиться строить графики показательной функции и описывать их свойства.
Метапредметные: Развивать навыки исследовательской работы, умения анализировать, сравнивать, обобщать и делать выводы на основе наблюдений за поведением графиков.
Личностные: Формировать представление о математических моделях реальных процессов (рост популяции, радиоактивный распад), развивать познавательный интерес.

Планируемые результаты:

Знать: Определение показательной функции, её свойства (область определения, область значений, монотонность), особенности графика при $a > 1$ и $0 < a < 1$ .
Уметь: Определять характер монотонности по основанию, строить эскизы графиков, сравнивать числа, используя свойства функции.

1. Организационный момент и актуализация знаний
2. Определение показательной функции
3. Исследование свойств функции y = a x y=a x
4. Обобщение свойств
5. График и экспонента

1. Организационный момент и актуализация знаний

Повторение (фронтальный опрос):

Какая функция называется степенной? ( $y = x^{r}$ )
Чем степенная функция отличается от показательной? (В степенной переменная в основании, показатель постоянен; в показательной — постоянное основание, переменная в показателе).
Вспомните свойства степени с действительным показателем: как умножаются степени с одинаковым основанием? Как возводится степень в степень?
Какие процессы в жизни, по вашему мнению, могут описываться функциями, где переменная стоит в показателе? (Рост вклада в банке, размножение бактерий, распад вещества).

Мотивация:
Сегодня мы начинаем изучать один из важнейших классов функций — показательные функции. Они являются математическими моделями многих процессов в природе, экономике и физике. Понимание их свойств позволит нам в дальнейшем решать показательные уравнения и неравенства.

2. Определение показательной функции

Определение: Показательной функцией называется функция вида $y = a^{x}$ , где $a$ — заданное число, $a > 0, a \neq 1$ .

Пояснения к условиям:

Почему $a > 0$ ? Если основание отрицательное (например, $a = - 2$ ), то функция определена не для всех $x$ . Например, $(- 2)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{- 2}$ не существует в действительных числах. Чтобы избежать разрывов и неопределенностей, берут положительное основание.
Почему $a \neq 1$ ? Если $a = 1$ , то $1^{x} = 1$ для любого $x$ . Это постоянная функция (прямая $y = 1$ ), которая не представляет интереса с точки зрения изучения свойств показательной функции (она не возрастает и не убывает).

3. Исследование свойств функции y = a x y=a x

Проведем небольшое исследование, работая в парах. Рассмотрим два принципиально разных случая: $a > 1$ и $0 < a < 1$ .

Случай 1: $a > 1$ (например, $y = 2^{x}, y = 3^{x}$ )

Заполним таблицу для функции $y = 2^{x}$ :

$x$	-3	-2	-1	0	1	2	3
$y$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	1	2	4	8

Наблюдения:

График расположен над осью OX (все значения положительны).
Проходит через точку (0; 1).
С ростом $x$ значения функции быстро растут.
При $x \to - \infty$ значения функции стремятся к 0 (график приближается к оси OX, но не пересекает её).

Случай 2: $0 < a < 1$ (например, $y = (1 / 2)^{x}$ )

Заполним таблицу для функции $y = (1 / 2)^{x}$ :

$x$	-3	-2	-1	0	1	2	3
$y$	8	4	2	1	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{8}$

Наблюдения:

График также расположен над осью OX.
Проходит через точку (0; 1).
С ростом $x$ значения функции убывают.
При $x \to + \infty$ значения функции стремятся к 0.

4. Обобщение свойств

Составим сводную таблицу свойств показательной функции $y = a^{x}$ :

Свойство	$a > 1$	$0 < a < 1$
Область определения $D (y)$	$R$ (все действительные числа)	$R$
Область значений $E (y)$	$(0; + \infty)$	$(0; + \infty)$
Монотонность	Возрастает на $R$	Убывает на $R$
Точка пересечения с осями	С осью OY: $(0; 1)$ . С осью OX: не пересекает.	С осью OY: $(0; 1)$ . С осью OX: не пересекает.
Поведение на бесконечности	$x \to - \infty \Rightarrow y \to 0^{+}$ $x \to + \infty \Rightarrow y \to + \infty$	$x \to - \infty \Rightarrow y \to + \infty$ $x \to + \infty \Rightarrow y \to 0^{+}$
Четность/нечетность	Ни четная, ни нечетная	Ни четная, ни нечетная

5. График и экспонента

График:

При $a > 1$ график круто поднимается вверх при движении вправо.
При $0 < a < 1$ график круто поднимается вверх при движении влево.
Графики функций $y = a^{x}$ и $y = (1 / a)^{x}$ симметричны относительно оси OY.

Экспонента:
Особое место занимает функция $y = e^{x}$ , где $e \approx 2.71828$ (число Эйлера). Эту функцию часто называют просто экспонентой. Она обладает уникальным свойством: её производная равна самой функции. Экспонента часто встречается в высшей математике, физике и описывает множество природных процессов.