Текст учебника. Урок 6. Показательные уравнения и неравенства.

1. Организационный момент и актуализация знаний

Повторение (фронтальный опрос):

1. Какая функция называется показательной? Приведите примеры.

2. Сформулируйте свойство монотонности показательной функции для случаев $a>1$ и $0<a<1$.

3. Сравните числа: $3^{2,5}$ и $3^3$; $(1\mathrm{/}2{)}^4$ и $(1\mathrm{/}2{)}^2$. Объясните почему.

4. Решите простейшее уравнение: $2^x=8$. (Ответ: 3)

Мотивация:
Мы изучили свойства показательной функции. Сегодня мы научимся решать уравнения и неравенства, в которых переменная находится в показателе степени. Такие задачи часто встречаются в физике (радиоактивный распад), химии (скорость реакций), экономике (сложные проценты). Умение их решать — важный практический навык.

2. Определение и теорема о равносильности

Определение: Показательным называется уравнение, в котором переменная содержится в показателе степени (при постоянном положительном основании, отличном от 1).

Пример 1: $5^x=125$, $2^{x+1}=32$, $3^{2x}-2\cdot 3^x-3=0$.

Основой для решения простейших показательных уравнений служит следующая теорема.

Теорема (о равносильности):
Если $a>0$ и $a\mathrm{\ne }1$, то уравнение $a^{f(x)}=a^{g(x)}$ равносильно уравнению $f(x)=g(x)$.

Доказательство (устно): Так как показательная функция строго монотонна (при $a>1$ возрастает, при $0<a<1$ убывает), то она принимает каждое свое значение только один раз. Следовательно, из равенства степеней следует равенство показателей.

3. Методы решения показательных уравнений

Метод 1: Приведение к одинаковому основанию

Этот метод заключается в том, чтобы представить обе части уравнения в виде степени с одним и тем же основанием.

Пример 2 (решаем вместе):
Решить уравнение ${27}^x=\frac{1}{81}$.

Решение:

1. Представим все числа как степени числа 3.
   $27=3^3$, значит ${27}^x=(3^3{)}^x=3^{3x}$.
   $\frac{1}{81}={81}^{-1}=(3^4{)}^{-1}=3^{-4}$.

2. Получаем уравнение: $3^{3x}=3^{-4}$.

3. Основания равны (3>1), переходим к равенству показателей:
   $3x=-4$

4. $x=-\frac{4}{3}$.
   Ответ: $-\frac{4}{3}$.

Метод 2: Вынесение общего множителя

Используется, если все степени имеют одно основание, но разные показатели.

Пример 3:
Решить уравнение $2^{x+2}+2^x=20$.

Решение:

1. Преобразуем первое слагаемое: $2^{x+2}=2^x\cdot 2^2=4\cdot 2^x$.

2. Подставим в уравнение: $4\cdot 2^x+2^x=20$.

3. Вынесем общий множитель $2^x$ за скобку: $2^x(4+1)=20$ => $2^x\cdot 5=20$.

4. Делим обе части на 5: $2^x=4$.

5. Представляем 4 как степень двойки: $2^x=2^2$.

6. Переходим к показателям: $x=2$.
   Ответ: 2.

Метод 3: Замена переменной

Применяется, когда уравнение содержит выражения вида $a^{f(x)}$, $a^{2f(x)}$ и т.д., и позволяет свести его к алгебраическому уравнению.

Пример 4:
Решить уравнение $4^x-3\cdot 2^x-4=0$.

Решение:

1. Заметим, что $4^x=(2^2{)}^x=2^{2x}=(2^x{)}^2$.

2. Сделаем замену: пусть $t=2^x$, где $t>0$ (так как показательная функция принимает только положительные значения).

3. Получим квадратное уравнение: $t^2-3t-4=0$.

4. Решаем его: $D=9+16=25$, корни $t=\frac{3\pm 5}{2}$. $t_1=4$, $t_2=-1$.

5. Учитываем условие $t>0$: $t=-1$ — посторонний корень.

6. Возвращаемся к переменной $x$: $2^x=4$ => $2^x=2^2$ => $x=2$.
   Ответ: 2.

4. Показательные неравенства

Решение показательных неравенств основано на свойстве монотонности показательной функции.

Теорема о равносильности для неравенств:

1. Если $a>1$, то неравенство $a^{f(x)}>a^{g(x)}$ равносильно неравенству $f(x)>g(x)$ (знак неравенства сохраняется).

2. Если $0<a<1$, то неравенство $a^{f(x)}>a^{g(x)}$ равносильно неравенству $f(x)<g(x)$ (знак неравенства меняется на противоположный).

Почему? Потому что при $a>1$ функция возрастает: большему значению аргумента соответствует большее значение функции. При $0<a<1$ функция убывает: большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Пример 5 (решаем вместе):
Решить неравенство $2^{x-1}\le 16$.

Решение:

1. Представим правую часть как степень двойки: $16=2^4$.

2. Получим: $2^{x-1}\le 2^4$.

3. Основание $2>1$, значит функция возрастает, знак неравенства сохраняем:
   $x-1\le 4$

4. $x\le 5$.
   Ответ: $(-\mathrm{\infty };5]$.

Пример 6:
Решить неравенство ${\left(\frac{1}{3}\right)}^x>{\left(\frac{1}{3}\right)}^{2x-1}$.

Решение:

1. Основание $\frac{1}{3}<1$, значит функция убывает. Поэтому при переходе к показателям знак неравенства меняем.

2. Получаем: $x<2x-1$.

3. Переносим: $x-2x<-1$ => $-x<-1$ => $x>1$.
   Ответ: $(1;+\mathrm{\infty })$.