Текст учебника. Урок 7. Логарифм. Свойства логарифмов.

1. Организационный момент и актуализация знаний

Приветствие. Проверка готовности.

Повторение (фронтальный опрос):

1. Решите уравнение: $2^x=8$. ($x=3$)

2. Решите уравнение: $3^x=\frac{1}{9}$. ($x=-2$)

3. Решите уравнение: $5^x=7$.
   Проблема: Мы не можем представить 7 как степень 5 с "красивым" показателем. Ответ — иррациональное число. Но как его записать точно?

Мотивация:
Математики придумали специальную запись для решения такой проблемы. Эта запись называется логарифм. Сегодня мы научимся "читать" и вычислять логарифмы, а также узнаем их свойства, которые позволят нам упрощать сложные выражения.

2. Определение логарифма

Определение: Логарифмом числа $b$ по основанию $a$ называется показатель степени, в которую нужно возвести основание $a$, чтобы получить число $b$.
Обозначение: ${\log }_{a}b$, где $a>0,a\mathrm{\ne }1,b>0$.

Пример 1 (устно):

• ${\log }_{2}8=3$, так как $2^3=8$.

• ${\log }_3\frac{1}{9}=-2$, так как $3^{-2}=\frac{1}{9}$.

• ${\log }_{5}5=1$, так как $5^1=5$.

• ${\log }_{7}1=0$, так как $7^0=1$.

3. Основное логарифмическое тождество

Из определения логарифма следует важнейшее соотношение, которое называется основным логарифмическим тождеством:

$$a^{{\log }_{a}b}=b,\text{где }b>0,a>0,a\mathrm{\ne }1.$$

Пояснение: Если мы возведем основание $a$ в степень, равную логарифму числа $b$ по этому основанию, мы получим само число $b$.

Пример 2:

• $5^{{\log }_{5}3}=3$

• $2^{{\log }_{2}10}=10$

• ${0.3}^{{\log }_{0.3}7}=7$

4. Десятичный и натуральный логарифмы

Некоторые логарифмы встречаются так часто, что получили специальные обозначения.

1. Десятичный логарифм — это логарифм по основанию 10.
   Обозначается: ${\log }_{10}b=\lg b$.
   Пример: $\lg 100=2$, $\lg 0.001=-3$.

2. Натуральный логарифм — это логарифм по основанию $e$, где $e\approx 2.71828$ (число Эйлера).
   Обозначается: ${\log }_{e}b=\ln b$.
   Пример: $\ln e=1$, $\ln 1=0$.

5. Свойства логарифмов

Рассмотрим основные свойства логарифмов. Все они следуют из определения логарифма и свойств степени. Пусть $a>0,a\mathrm{\ne }1,b>0,c>0$.

1. Логарифм произведения:

   $${\log }_a(b\cdot c)={\log }_{a}b+{\log }_{a}c$$

   Доказательство:
   Пусть ${\log }_{a}b=x$, тогда $a^x=b$.
   Пусть ${\log }_{a}c=y$, тогда $a^y=c$.
   Рассмотрим произведение $b\cdot c=a^x\cdot a^y=a^{x+y}$.
   По определению логарифма, показатель степени, в которую нужно возвести $a$, чтобы получить $b\cdot c$, равен $x+y$. То есть ${\log }_a(b\cdot c)=x+y={\log }_{a}b+{\log }_{a}c$.
   Пример: ${\log }_3(9\cdot 27)={\log }_{3}9+{\log }_{3}27=2+3=5$.

2. Логарифм частного:

   $${\log }_a\left(\frac{b}{c}\right)={\log }_{a}b-{\log }_{a}c$$

   Доказательство: Аналогично, используя $\frac{b}{c}=\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$.
   Пример: $\lg \frac{100}{1000}=\lg 100-\lg 1000=2-3=-1$.

3. Логарифм степени:

   $${\log }_a{b}^p=p\cdot {\log }_{a}b$$

   Доказательство:
   Пусть ${\log }_{a}b=x$, тогда $a^x=b$.
   Возведем обе части в степень $p$: $(a^x{)}^p=b^p$, или $a^{x\cdot p}=b^p$.
   По определению логарифма, показатель степени, в которую нужно возвести $a$, чтобы получить $b^p$, равен $x\cdot p$. То есть ${\log }_a{b}^p=p\cdot x=p\cdot {\log }_{a}b$.
   Пример: ${\log }_{2}32={\log }_2(2^5)=5\cdot {\log }_{2}2=5\cdot 1=5$.

6. Важное следствие (формула перехода к новому основанию)

Хотя это не входит в основной план урока, можно кратко упомянуть формулу, которая часто используется: ${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$. Это позволяет вычислять логарифмы с любым основанием с помощью калькулятора (через десятичные или натуральные).