Текст учебников. Урок 10. Первообразная. Основное свойство первообразной.

1. Организационный момент и актуализация знаний

Повторение (фронтальный опрос):

1. Вспомните физический смысл производной. Что показывает производная функции $s(t)$? (Мгновенную скорость: $v(t)=s^{\mathrm{\prime }}(t)$).

2. Задача из физики: закон прямолинейного движения задан уравнением $s(t)=t^2+2t$. Найдите скорость тела в момент времени $t$. ($v(t)=2t+2$)

Проблемная ситуация:
А если нам известна скорость $v(t)=2t+2$, а найти нужно закон движения $s(t)$? Мы знаем, что $s^{\mathrm{\prime }}(t)=v(t)$. То есть нам нужно найти функцию, производная которой равна $2t+2$. Такая операция называется интегрированием, а искомая функция — первообразной.

2. Задача, приводящая к понятию первообразной

Рассмотрим физическую задачу.
Задача: Точка движется вдоль прямой со скоростью $v(t)=2t$. Найти закон движения $s(t)$, если известно, что в начальный момент времени $t=0$ координата точки $s(0)=1$.

Решение:

1. Мы ищем функцию $s(t)$, такую что $s^{\mathrm{\prime }}(t)=v(t)=2t$.

2. Вспоминаем таблицу производных: производная от $t^2$ равна $2t$. Значит, одна из возможных первообразных — это $F(t)=t^2$.

3. Проверим: $(t^2{)}^{\mathrm{\prime }}=2t$. Верно. Но $(t^2+1{)}^{\mathrm{\prime }}=2t$, и $(t^2-5{)}^{\mathrm{\prime }}=2t$. Любая функция вида $t^2+C$ имеет производную $2t$.

4. Используем начальное условие $s(0)=1$:
   $0^2+C=1\Rightarrow C=1$.

5. Искомый закон движения: $s(t)=t^2+1$.

3. Определение первообразной

Определение: Функция $F(x)$ называется первообразной для функции $f(x)$ на некотором промежутке $I$, если для всех $x$ из этого промежутка $F^{\mathrm{\prime }}(x)=f(x)$.

Пример 1:

• Для $f(x)=x^2$ первообразной является $F(x)=\frac{x^3}{3}$, так как ${\left(\frac{x^3}{3}\right)}^{\mathrm{\prime }}=\frac{3x^2}{3}=x^2$.

• Для $f(x)=\cos x$ первообразной является $F(x)=\sin x$, так как $(\sin x{)}^{\mathrm{\prime }}=\cos x$.

• Для $f(x)=\frac{1}{x}$ на промежутке $x>0$ первообразной является $F(x)=\ln x$, так как $(\ln x{)}^{\mathrm{\prime }}=\frac{1}{x}$.

4. Основное свойство первообразной

Из примера с движением мы увидели, что у функции $f(x)$ может быть много первообразных. Это описывается основным свойством.

Теорема (основное свойство первообразной):
Если функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на промежутке $I$, то любая другая первообразная $\mathrm{\Phi }(x)$ для $f(x)$ на этом промежутке может быть представлена в виде:

$$\mathrm{\Phi }(x)=F(x)+C,$$

где $C$ — произвольная постоянная.

Доказательство:

1. Пусть $F(x)$ и $\mathrm{\Phi }(x)$ — две первообразные для $f(x)$ на $I$. Это значит, что $F^{\mathrm{\prime }}(x)=f(x)$ и ${\mathrm{\Phi }}^{\mathrm{\prime }}(x)=f(x)$.

2. Рассмотрим функцию $h(x)=\mathrm{\Phi }(x)-F(x)$. Найдем её производную:
   $h^{\mathrm{\prime }}(x)={\mathrm{\Phi }}^{\mathrm{\prime }}(x)-F^{\mathrm{\prime }}(x)=f(x)-f(x)=0$.

3. Из математического анализа известно (теорема о постоянстве функции), что если производная функции равна нулю на промежутке, то сама функция постоянна на этом промежутке. Следовательно, $h(x)=C$, где $C$ — константа.

4. Значит, $\mathrm{\Phi }(x)-F(x)=C$ => $\mathrm{\Phi }(x)=F(x)+C$. Что и требовалось доказать.

Геометрический смысл: Графики всех первообразных получаются из графика одной из них параллельным переносом вдоль оси OY.

5. Таблица первообразных

Таблица первообразных легко получается из таблицы производных (операция обратная дифференцированию). Пусть $k,b$ — константы.

Пример 2 (нахождение общего вида первообразных):

1. Для $f(x)=x^5$: $F(x)=\frac{x^6}{6}+C$.

2. Для $f(x)=\frac{1}{x^3}=x^{-3}$: $F(x)=\frac{x^{-2}}{-2}+C=-\frac{1}{2x^2}+C$.

3. Для $f(x)=5^x$: $F(x)=\frac{5^x}{\ln 5}+C$.