Текст учебника. Урок 12. Определённый интеграл. Формула Ньютона–Лейбница.

1. Организационный момент и актуализация знаний

Повторение (фронтальный опрос):

1. Что называется первообразной функции? Сформулируйте основное свойство первообразной.

2. Какая фигура называется криволинейной трапецией? Приведите пример.

3. В чём заключается геометрический смысл первообразной? (Первообразная $F(x)$ описывает площадь под графиком от некоторой фиксированной точки до точки $x$).

Проблемная ситуация:
На прошлом уроке мы выяснили, что площадь криволинейной трапеции на отрезке $[a;b]$ можно выразить через приращение первообразной: $S=F(b)-F(a)$. Сегодня мы дадим строгое математическое обоснование этому факту и введем понятие определённого интеграла.

2. Задача о площади и интегральная сумма

Рассмотрим криволинейную трапецию, заданную функцией $y=f(x)\ge 0$ на отрезке $[a;b]$.

Как можно вычислить её площадь приближённо?

1. Разобьём отрезок $[a;b]$ на $n$ равных частей точками $x_0=a,x_1,x_2,\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.},x_n=b$. Длина каждого отрезка $\mathrm{\Delta }x=\frac{b-a}{n}$.

2. На каждом частичном отрезке $[x_{i-1};x_i]$ выберем произвольную точку ${\xi }_i$ и вычислим значение функции $f({\xi }_i)$.

3. Заменим площадь криволинейной полоски на этом отрезке площадью прямоугольника с основанием $\mathrm{\Delta }x$ и высотой $f({\xi }_i)$. Его площадь равна $f({\xi }_i)\cdot \mathrm{\Delta }x$.

4. Сумма площадей всех таких прямоугольников даст приближённое значение площади всей фигуры:

   $$S_n=\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }x$$

   Эта сумма называется интегральной суммой.

Чем больше $n$ (чем мельче разбиение), тем точнее приближение. Площадь криволинейной трапеции равна пределу интегральных сумм при $n\to \mathrm{\infty }$ (при условии, что этот предел существует).

2.2. Определение определённого интеграла

3. Определение определённого интеграла

Определение: Определённым интегралом от функции $f(x)$ на отрезке $[a;b]$ называется предел интегральной суммы при стремлении шага разбиения к нулю (если этот предел существует и не зависит от способа разбиения и выбора точек ${\xi }_i$). Обозначается:

$${\int }_a^{b}f(x)dx$$

Пояснения к обозначениям:

• $a,b$ — нижний и верхний пределы интегрирования.

• $f(x)$ — подынтегральная функция.

• $dx$ — дифференциал (обозначение шага).

4. Геометрический смысл определённого интеграла

Если $f(x)\ge 0$ на отрезке $[a;b]$, то определённый интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью $OX$ и прямыми $x=a,x=b$.

$$S={\int }_a^{b}f(x)dx$$

5. Формула Ньютона–Лейбница

Существует замечательная связь между определённым интегралом и первообразной. Это и есть формула Ньютона–Лейбница.

Теорема: Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a;b]$, а $F(x)$ — любая её первообразная на этом отрезке, то определённый интеграл равен приращению первообразной:

$${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$$

Доказательство (идея):

1. Рассмотрим функцию площади $\mathrm{\Phi }(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$. Это площадь под графиком от $a$ до $x$. Ранее мы установили, что ${\mathrm{\Phi }}^{\mathrm{\prime }}(x)=f(x)$, то есть $\mathrm{\Phi }(x)$ — первообразная для $f(x)$.

2. Пусть $F(x)$ — любая другая первообразная для $f(x)$. По основному свойству первообразных, $F(x)=\mathrm{\Phi }(x)+C$.

3. Вычислим разность:
   $F(b)-F(a)=(\mathrm{\Phi }(b)+C)-(\mathrm{\Phi }(a)+C)=\mathrm{\Phi }(b)-\mathrm{\Phi }(a)$.

4. По определению $\mathrm{\Phi }(a)={\int }_a^{a}f(t)dt=0$, а $\mathrm{\Phi }(b)={\int }_a^{b}f(t)dt$. Следовательно, $F(b)-F(a)={\int }_a^{b}f(x)dx$. Что и требовалось доказать.

Пример 1:
Вычислить интеграл ${\int }_1^2{x}^{2}dx$.
Решение:

1. Находим первообразную для $x^2$: $F(x)=\frac{x^3}{3}$.

2. Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

   $${\int }_1^2{x}^{2}dx=F(2)-F(1)=\frac{2^3}{3}-\frac{1^3}{3}=\frac{8}{3}-\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$$

Ответ: $\frac{7}{3}$.

6. Свойства определённого интеграла

Сформулируем основные свойства, которые следуют как из определения, так и из формулы Ньютона-Лейбница.

1. Интеграл от суммы: ${\int }_a^b(f(x)\pm g(x))dx={\int }_a^{b}f(x)dx\pm {\int }_a^{b}g(x)dx$.

2. Вынесение константы: ${\int }_a^{b}kf(x)dx=k{\int }_a^{b}f(x)dx$.

3. Свойство линейности: ${\int }_a^b(k_{1}f(x)+k_{2}g(x))dx=k_1{\int }_a^{b}f(x)dx+k_2{\int }_a^{b}g(x)dx$.

4. Аддитивность: ${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{c}f(x)dx+{\int }_c^{b}f(x)dx$, где $c\in [a,b]$.

5. Если $f(x)\ge 0$ на $[a,b]$, то ${\int }_a^{b}f(x)dx\ge 0$.

6. Если $f(x)\le g(x)$ на $[a,b]$, то ${\int }_a^{b}f(x)dx\le {\int }_a^{b}g(x)dx$.