Текст учебника. Урок 14. Вероятность случайного события. Сложение и умножение вероятностей.

1. Организационный момент и актуализация знаний

Вводная беседа:

1. Как вы понимаете фразу "вероятность дождя завтра 30%"? Что это означает?

2. Какие события в жизни называют случайными? (Выпадение орла при броске монеты, выигрыш в лотерею и т.д.)

3. Какие события называют достоверными? Невозможными? (Солнце взойдет — достоверно, извлечь красный шар из урны с одними белыми — невозможно).

Мотивация:
Теория вероятностей помогает нам оценивать шансы наступления событий в условиях неопределенности. Она широко применяется в статистике, физике, экономике и даже в играх. Сегодня мы научимся вычислять эти шансы.

2. Классическое определение вероятности

Пусть проводится некоторый эксперимент (испытание), который может закончиться одним из $N$ равновозможных исходов. Среди этих исходов есть $M$ исходов, благоприятствующих наступлению некоторого события $A$.

Определение: Вероятностью события $A$ называется отношение числа благоприятствующих исходов к общему числу всех равновозможных исходов:

$$P(A)=\frac{M}{N}$$

Пример 1:
В урне 5 белых и 3 черных шара. Наугад вынимают один шар. Найти вероятность того, что он белый.
Решение: Общее число исходов $N=5+3=8$. Число благоприятных исходов (белый шар) $M=5$. Тогда $P=\frac{5}{8}=0.625$.

Свойства вероятности:

1. Вероятность достоверного события равна 1.

2. Вероятность невозможного события равна 0.

3. Вероятность случайного события есть число между 0 и 1: $0\le P(A)\le 1$.

3. Противоположные события

Определение: Событие $\bar{A}$ называется противоположным событию $A$, если оно наступает тогда и только тогда, когда не наступает событие $A$.

Свойство: Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.

$$P(A)+P(\bar{A})=1$$

Это свойство часто используется, когда проще найти вероятность противоположного события.

Пример 2:
Вероятность того, что лампочка прослужит больше года, равна 0.85. Найти вероятность того, что она перегорит в течение года.
Решение: События "прослужит больше года" и "перегорит в течение года" — противоположные. $P=1-0.85=0.15$.

4. Теорема сложения вероятностей для несовместных событий

Определение: События называются несовместными, если в одном и том же испытании они не могут произойти одновременно (например, выпадение орла и решки при одном броске монеты).

Теорема: Вероятность наступления хотя бы одного из двух несовместных событий (т.е. объединения $A\cup B$) равна сумме вероятностей этих событий:

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$$

Пример 3:
В ящике 10 деталей: 3 первого сорта, 5 второго и 2 третьего. Найти вероятность того, что наугад взятая деталь окажется первого или второго сорта.
Решение: События "деталь первого сорта" и "деталь второго сорта" несовместны (одна деталь не может быть двух сортов одновременно).
$P(1)=3\mathrm{/}10=0.3$, $P(2)=5\mathrm{/}10=0.5$.
$P(1\cup 2)=0.3+0.5=0.8$.

5. Теорема умножения вероятностей для независимых событий

Определение: События называются независимыми, если наступление одного из них не влияет на вероятность наступления другого.

Теорема: Вероятность совместного наступления двух независимых событий (т.е. пересечения $A\cap B$) равна произведению вероятностей этих событий:

$$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$$

Пример 4:
Два стрелка стреляют по мишени независимо друг от друга. Вероятность попадания для первого стрелка 0.8, для второго — 0.7. Найти вероятность того, что оба стрелка попадут в мишень.
Решение: События "попадание первого" и "попадание второго" независимы. Искомая вероятность: $P=0.8\cdot 0.7=0.56$.

6. Комбинирование теорем

Часто задачи требуют применения обеих теорем.

Пример 5 (задача про стрелков):
Для условий примера 4 найти вероятность того, что попадет хотя бы один стрелок.
Решение 1 (сложение вероятностей):
Событие $C$ = "попадет хотя бы один". Противоположное событие $\bar{C}$ = "не попадет никто". Найдем вероятность $\bar{C}$:
$P(\bar{C})=(1-0.8)\cdot (1-0.7)=0.2\cdot 0.3=0.06$.
Тогда $P(C)=1-0.06=0.94$.

Решение 2 (прямой подсчет):
Событие $C$ состоит из трех несовместных вариантов:

• Попал только первый: $0.8\cdot 0.3=0.24$

• Попал только второй: $0.2\cdot 0.7=0.14$

• Попали оба: $0.8\cdot 0.7=0.56$
  Складываем: $0.24+0.14+0.56=0.94$.