Текст учебника. Урок 16. Итоговое повторение. Обобщение и систематизация знаний.

Сайт:	sdavalka.ru \| тренажёр, уроки, видео для подготовки к школьным экзаменам
Курс:	Алгебра, полный курс для 11 класса
Книга:	Текст учебника. Урок 16. Итоговое повторение. Обобщение и систематизация знаний.

Напечатано::	Гость
Дата:	вторник, 15 сентября 2026, 08:12

Описание

Тема урока: Итоговое повторение. Обобщение и систематизация знаний.

Тип урока: Урок обобщения и систематизации знаний (урок-рефлексия).

Цели урока:

Предметные: Обобщить и систематизировать знания по ключевым разделам курса алгебры и начал математического анализа: функции и их свойства, производная и первообразная, показательные, логарифмические, иррациональные уравнения и неравенства, элементы комбинаторики и теории вероятностей.
Метапредметные: Развивать умения устанавливать межпредметные и внутрипредметные связи, классифицировать задачи по методам решения, структурировать знания.
Личностные: Формировать целостное представление о структуре курса математики, понимание его логики, подготовку к итоговой аттестации, развитие рефлексивных навыков.

Планируемые результаты:

Знать: Основные понятия, определения, теоремы и формулы курса.
Уметь: Видеть связь между разделами, выбирать адекватный метод решения задачи, применять изученные алгоритмы.

1. Организационный момент и целеполагание

Вступительное слово учителя:
"Сегодня у нас заключительный урок курса алгебры и начал математического анализа в 11 классе. Мы прошли долгий путь: от простейших степенных функций до интегралов, от логарифмов до теории вероятностей. Наша цель сегодня — не просто вспомнить отдельные темы, а выстроить целостную систему знаний, увидеть связи между ними и понять, как они работают в комплексе. Это поможет вам успешно справиться с итоговой аттестацией и продолжить образование."

Обсуждение плана урока: Вместе с учениками формулируются основные блоки повторения.

2. Обобщение ключевых понятий

2.1. Линия «Числа и вычисления» + «Степени и логарифмы»

Повторяем свойства степеней и логарифмов как основу для преобразования выражений.

Пример 1 (вычислительная задача):
Найти значение выражения $\frac{8^{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt{16}}{2^{- 1}}$ .

Решение:
$8^{\frac{2}{3}} = (2^{3})^{\frac{2}{3}} = 2^{2} = 4$ .
$\sqrt{16} = 4$ .
$2^{- 1} = \frac{1}{2}$ .
Подставляем: $\frac{4 \cdot 4}{1 / 2} = 16 \cdot 2 = 32$ .

Пример 2 (логарифмическое выражение):
Вычислить $\log_{2} 32 + \log_{3} 27 - \lg 1000$ .

Решение: $5 + 3 - 3 = 5$ .

2.2. Линия «Функции и графики»

Повторяем свойства основных функций и их графиков: показательная, логарифмическая, степенная.

Вопросы для фронтального опроса:

Какова область определения функции $y = \sqrt{x - 2}$ ? ( $x \geq 2$ )
Какова область определения функции $y = \log_{3} (x + 1)$ ? ( $x > - 1$ )
Какая функция является четной: $y = x^{3}$ или $y = x^{4}$ ? (Вторая)
Как по графику отличить показательную функцию с основанием $a > 1$ от функции с $0 < a < 1$ ? (Возрастание/убывание)

Пример 3 (сравнение значений):
Сравнить числа: $\log_{2} 1.5$ и $\log_{2} 2.5$ .

Решение: Основание $2 > 1$ , функция возрастает. Так как $1.5 < 2.5$ , то $\log_{2} 1.5 < \log_{2} 2.5$ .

2.3. Линия «Уравнения и неравенства»

Повторяем методы решения основных типов уравнений и неравенств.

Пример 4 (показательное уравнение):
$3^{x + 1} = 27$ .

Решение: $27 = 3^{3}$ , $3^{x + 1} = 3^{3}$ => $x + 1 = 3$ => $x = 2$ .

Пример 5 (логарифмическое неравенство):
$\log_{0.5} (x - 1) > - 1$ .

Решение: ОДЗ: $x > 1$ . Представим -1 как логарифм: $- 1 = \log_{0.5} 2$ . Так как основание $0.5 < 1$ , знак неравенства меняем: $x - 1 < 2$ => $x < 3$ . С учетом ОДЗ: $1 < x < 3$ .

Пример 6 (иррациональное уравнение):
$\sqrt{2 x + 3} = x$ .

Решение: ОДЗ: $2 x + 3 \geq 0$ и $x \geq 0$ (правая часть неотрицательна). Возводим в квадрат: $2 x + 3 = x^{2}$ => $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ => $x = - 1$ или $x = 3$ . Условию $x \geq 0$ удовлетворяет только $x = 3$ . Проверка: $\sqrt{2 \cdot 3 + 3} = \sqrt{9} = 3$ , верно.

2.4. Линия «Начала математического анализа»

Повторяем понятия производной, первообразной, интеграла.

Пример 7 (производная):
Найти производную функции $f (x) = x^{3} + \sin x$ .

Решение: $f^{'} (x) = 3 x^{2} + \cos x$ .

Пример 8 (первообразная и интеграл):
Найти первообразную для $f (x) = 2 x$ и вычислить $\int_{1}^{3} 2 x d x$ .

Решение: Первообразная $F (x) = x^{2} + C$ . Определенный интеграл: $\int_{1}^{3} 2 x d x = F (3) - F (1) = 9 - 1 = 8$ .

2.5. Линия «Множества и логика» + «Комбинаторика и вероятность»

Кратко повторяем формулы комбинаторики и вероятности.

Пример 9 (вероятность):
В корзине 5 яблок и 3 груши. Наугад берут один фрукт. Найти вероятность того, что это яблоко.

Решение: Всего исходов 8, благоприятных 5. $P = 5 / 8 = 0.625$ .

3. Практикум по решению задач

Класс делится на 4 группы. Каждая группа получает карточку с задачей и готовит решение у доски.

Группа 1 (Уравнения): Решить уравнение $\log_{2} (x - 1) + \log_{2} (x + 1) = 3$ .
Подсказка: Использовать свойство суммы логарифмов и учесть ОДЗ.
Решение: ОДЗ: $x > 1$ . $\log_{2} ((x - 1) (x + 1)) = 3$ => $x^{2} - 1 = 8$ => $x^{2} = 9$ => $x = \pm 3$ . С учетом ОДЗ: $x = 3$ .

Группа 2 (Неравенства): Решить неравенство ${(\frac{1}{3})}^{x - 2} \leq 9$ .
Решение: $9 = 3^{2} = (1 / 3)^{- 2}$ . Основание $1 / 3 < 1$ , знак меняем: $x - 2 \geq - 2$ => $x \geq 0$ .

Группа 3 (Производная и касательная): Найти угловой коэффициент касательной к графику функции $f (x) = x^{2}$ в точке $x_{0} = 2$ .
Решение: $f^{'} (x) = 2 x$ , $f^{'} (2) = 4$ . Угловой коэффициент равен 4.

Группа 4 (Комбинаторика): Сколькими способами можно выбрать 3 делегатов из 10 человек?
Решение: Порядок не важен, сочетания: $C_{10}^{3} = \frac{10!}{3! 7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{6} = 120$ .