Текст урока. Урок 8. Теоремы о произведении отрезков хорд и секущих.

1. Организационный момент и актуализация знаний

Фронтальный опрос:

1. Какие углы называются вписанными? Сформулируйте теорему о вписанном угле.

2. Какие признаки подобия треугольников вы знаете?

3. Что называется касательной к окружности? Сформулируйте свойство касательной (радиус в точку касания перпендикулярен касательной).

4. Что такое секущая? (Прямая, пересекающая окружность в двух точках).

Создание проблемной ситуации:
Учитель чертит на доске две пересекающиеся хорды AB и CD с точкой пересечения M.
— Мы знаем, что $\mathrm{\angle }ACB=\mathrm{\angle }ADB$(как вписанные, опирающиеся на дугу AB). А можно ли связать длины отрезков AM, MB, CM, MD между собой? Оказывается, между ними есть простая зависимость. Сегодня мы изучим три важные теоремы, которые связывают отрезки хорд, секущих и касательных.

2. Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд

Теорема: Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

$$\boxed{{\displaystyle AM\cdot MB=CM\cdot MD}}$$

где $M$ — точка пересечения хорд $AB$ и $CD$.

Доказательство:
Рассмотрим пересекающиеся хорды $AB$ и $CD$. Соединим точки $A$ и $C$, $B$ и $D$.

1. $\mathrm{\angle }AMC=\mathrm{\angle }BMD$ (вертикальные углы).

2. $\mathrm{\angle }ACD=\mathrm{\angle }ABD$ (вписанные углы, опирающиеся на одну дугу $AD$).

3. Следовательно, $\mathrm{△}AMC\sim \mathrm{△}DMB$ по первому признаку подобия (два угла равны).

Из подобия следует пропорциональность сторон:

$$\frac{AM}{MD}=\frac{CM}{MB}$$

Отсюда:

$$AM\cdot MB=CM\cdot MD$$

Что и требовалось доказать.

3. Теорема о квадрате касательной

Рассмотрим случай, когда из одной точки $M$ вне окружности проведены касательная и секущая.

Теорема: Квадрат длины отрезка касательной равен произведению длины отрезка секущей на её внешнюю часть.

$$\boxed{{\displaystyle M{C}^2=MA\cdot MB}}$$

где $MC$ — отрезок касательной от точки $M$ до точки касания $C$, $MA$ — отрезок секущей от точки $M$ до дальней точки пересечения с окружностью ($A$), $MB$ — отрезок секущей от точки $M$ до ближней точки пересечения ($B$).

Доказательство:
Рассмотрим окружность, точку $M$ вне её. Проведем касательную $MC$ ($C$ — точка касания) и секущую, пересекающую окружность в точках $A$ (дальняя) и $B$ (ближняя).

1. Соединим точки $C$ и $A$, $C$ и $B$.

2. $\mathrm{\angle }MCA$ — угол между касательной и хордой $CA$. Он равен половине дуги $CA$.

3. $\mathrm{\angle }CBA$ — вписанный угол, опирающийся на дугу $CA$. Следовательно, $\mathrm{\angle }MCA=\mathrm{\angle }CBA$.

4. Угол $M$ — общий для треугольников $MCA$ и $MBC$.

5. Таким образом, $\mathrm{△}MCA\sim \mathrm{△}MBC$ по первому признаку подобия (два угла равны).

Из подобия:

$$\frac{MC}{MB}=\frac{MA}{MC}$$

Отсюда:

$$M{C}^2=MA\cdot MB$$

Что и требовалось доказать.

4. Теорема о произведении отрезков секущих

Теперь обобщим теорему на случай, когда из одной точки $M$ проведены две секущие.

Теорема: Если из точки вне окружности проведены две секущие, то произведение всей секущей на её внешнюю часть для одной секущей равно произведению всей секущей на её внешнюю часть для другой секущей.

$$\boxed{{\displaystyle MA\cdot MB=MC\cdot MD}}$$

где $MA$ и $MB$ — отрезки одной секущей (от $M$ до дальней и ближней точек), $MC$ и $MD$ — отрезки другой секущей.

Доказательство:
Проведем из точки $M$ две секущие: $MAB$ и $MCD$.
Проведем также вспомогательную касательную $MK$ (если возможно, или рассмотрим подобие треугольников, не используя касательную).
Рассмотрим треугольники $MAD$ и $MCB$.

• $\mathrm{\angle }M$ — общий.

• $\mathrm{\angle }MAD=\mathrm{\angle }MCB$ (вписанные углы, опирающиеся на одну дугу $BD$).
  Следовательно, $\mathrm{△}MAD\sim \mathrm{△}MCB$
  

Из подобия:

$$\frac{MA}{MC}=\frac{MD}{MB}$$

Отсюда:

$$MA\cdot MB=MC\cdot MD$$

Что и требовалось доказать.

Примечание: Вторую секущую можно рассматривать как частный случай теоремы о касательной: если секущая стремится к касательной, то $MB$ стремится к $MC$, и получаем $M{C}^2=MA\cdot MC$, т.е. $MC=MA$ — что неверно, поэтому теорема о квадрате касательной — это предельный случай теоремы о двух секущих.