Текст урока. Урок 2. Аксиомы стереометрии.

1. Актуализация знаний. Что такое аксиома?

Определение: Аксиома — это исходное положение теории, которое принимается истинным без доказательства. На аксиомах строятся все теоремы.

Аналогия из жизни: Правила дорожного движения («красный — стоп») принимаются без доказательства. Так и в геометрии: аксиомы — это «правила игры» в пространстве.

Напоминание: В планиметрии были аксиомы (например, аксиома параллельных). В стереометрии добавляются три специальные аксиомы о плоскости.

2. Аксиома 1 (А1)

Формулировка: Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

Геометрическая иллюстрация:
На доске и в тетрадях изображаются три точки $A,B,C$, не лежащие на одной прямой (треугольник). Через них «проводится» плоскость $\alpha$ в виде параллелограмма, охватывающего эти точки.

Пример из жизни (практический смысл — устойчивость треноги):

• У табуретки 3 ножки. Концы ножек — это три точки на полу. Они всегда лежат в одной плоскости (пола), поэтому табурет НЕ качается. Он устойчив всегда.

• У стула 4 ножки. Четыре точки в пространстве могут НЕ лежать в одной плоскости. Поэтому стул на неровном полу качается (одна ножка висит в воздухе).

Вывод: Три точки жестко задают плоскость. Это принцип работы штативов для камер, треног геодезистов и табуретов.

3. Аксиома 2 (А2)

Формулировка: Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки этой прямой лежат в данной плоскости.

Геометрическая иллюстрация:
Чертится плоскость $\beta$. В ней отмечаются две точки $M$ и $N$. Через них проводится прямая $MN$. Прямая полностью «проваливается» в плоскость.

Следствия из А2 (разбираем на рисунках):
Прямая и плоскость могут располагаться тремя способами:

1. Прямая лежит в плоскости: (все точки прямой принадлежат плоскости).

2. Прямая пересекает плоскость: (только одна общая точка — прямая как бы «протыкает» плоскость).

3. Прямая не имеет общих точек с плоскостью: (прямая «парит» параллельно, но понятие параллельности введем позже).

Пример из жизни: Стрела, вонзившаяся в стену (пересекает — одна точка). Линия соприкосновения швабры с полом (вся швабра лежит на полу — лежит в плоскости). Линия провода над столом (не касается — нет общих точек).

4. Аксиома 3 (А3)

Формулировка: Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой линии.

Геометрическая иллюстрация:
Рисуются две пересекающиеся плоскости $\gamma$ и $\delta$ (обычно в виде двух параллелограммов, пересекающихся как открытая книга). Линия их пересечения обозначается $a$.

Примеры из жизни (самые наглядные):

1. Две соседние стены в комнате: Они пересекаются по вертикальной прямой — углу комнаты.

2. Стена и потолок: Пересекаются по горизонтальной прямой — линии стыка.

3. Две страницы открытой книги: Пересекаются по корешку (прямой).

4. Крышка и стенка коробки: В закрытом виде совпадают, но при открытии крышка и коробка имеют общую прямую (петли).

Важное замечание: Две плоскости НЕ могут пересекаться в одной точке, как прямые на плоскости. В пространстве их пересечение — обязательно целая прямая.