Текст урока. Урок 3. Следствия из аксиом стереометрии.

1. Организационный момент и актуализация знаний

Приветствие. Проверка готовности к уроку.

Математический диктант (фронтально или на листочках):

1. Сформулируйте А1. (Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость).

2. Сформулируйте А2. (Если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит в этой плоскости).

3. Сформулируйте А3. (Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой).

4. На каком свойстве треноги основана А1? (Три ножки всегда касаются пола, так как задают единственную плоскость).

Проблемная ситуация:

• Учитель: «Аксиома А1 говорит, что нужно три точки. А можно ли задать плоскость, имея всего одну прямую и одну точку? Или имея две пересекающиеся прямые?»

• Это и будут наши сегодняшние теоремы-следствия.

2. Теорема 1 (Через прямую и точку)

Формулировка: Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

Разбор условия: Дано: прямая $a$ и точка $A$, не лежащая на $a$.
Требуется доказать: Существует единственная плоскость $\alpha$, содержащая $a$ и $A$.

Доказательство (строим чертеж вместе с классом):

1. На прямой $a$ выберем две любые точки (например, $B$ и $C$). (Аксиома: у прямой есть бесконечно много точек).

2. Мы имеем три точки: $A$ (не на прямой), $B$ и $C$ (на прямой).

   • Важно: Точки $A,B,C$ не лежат на одной прямой, так как $A$ не принадлежит $a$.

3. По аксиоме А1 (через три точки, не лежащие на одной прямой) проходит плоскость, и притом только одна. Назовем эту плоскость $\alpha$.

4. Докажем, что прямая $a$ лежит в этой плоскости:

   • Точки $B$ и $C$ лежат в плоскости $\alpha$ (по построению).

   • По аксиоме А2 (если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит в ней) заключаем: прямая $a$ целиком лежит в $\alpha$.

5. Плоскость $\alpha$ содержит и точку $A$, и прямую $a$. Единственность следует из А1. Теорема доказана.

Пример из жизни: Лазерная указка (прямая) и кончик ручки (точка) жестко задают положение воображаемой «стеклянной пластины» (плоскости).

3. Теорема 2 (Через две пересекающиеся прямые)

Формулировка: Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Разбор условия: Дано: прямые $a$ и $b$, $a\cap b=O$ (пересекаются в точке $O$).

Доказательство (чертеж: две прямые крест-накрест):

1. На прямой $a$ возьмем точку $A$, отличную от $O$.
   На прямой $b$ возьмем точку $B$, отличную от $O$.

2. Точки $A,B,O$ не лежат на одной прямой (так как $A$ и $O$ лежат на $a$, а $B$ — нет; иначе $b$ совпала бы с $a$).

3. По аксиоме А1 через $A,B,O$ проходит единственная плоскость $\alpha$.

4. Докажем, что прямые $a$ и $b$ лежат в $\alpha$:

   • Прямая $a$ проходит через точки $A$ и $O$. Обе точки лежат в $\alpha$ → по А2 прямая $a$ лежит в $\alpha$.

   • Прямая $b$ проходит через точки $B$ и $O$. Обе точки лежат в $\alpha$ → по А2 прямая $b$ лежит в $\alpha$.

5. Следовательно, плоскость $\alpha$ содержит обе прямые. Единственность — по А1. Теорема доказана.

Итог: Теперь мы знаем 4 способа задать плоскость в пространстве:

1. Тремя точками (не на одной прямой).

2. Прямой и точкой вне её.

3. Двумя пересекающимися прямыми.

4. Двумя параллельными прямыми (изучим позже).

4. Обзор: Взаимное расположение прямых и плоскостей (5 мин)

Учитель предлагает систематизировать знания в таблицу (заполняется коллективно, чертежи схематично на доске).

А) Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Важно: В планиметрии не было скрещивающихся прямых. Это чисто пространственный факт (например, верхнее ребро куба и нижнее боковое — они не пересекаются и не лежат в одной грани).

Б) Взаимное расположение прямой и плоскости

(Иллюстрация: карандаш лежит на столе; карандаш воткнут в стол; карандаш парит над столом).

5. Решение простейших задач

Задача 1 (Устно).
Даны две пересекающиеся прямые $a$ и $b$. Докажите, что все прямые, пересекающие обе данные прямые и не проходящие через точку их пересечения, лежат в одной плоскости.

• Решение: Прямые $a$ и $b$ задают плоскость $\alpha$ (Теорема 2). Любая прямая, пересекающая $a$ и $b$ в двух разных точках, по аксиоме А2 будет лежать в $\alpha$, так как две её точки принадлежат $\alpha$.

Задача 2 (Письменно, с чертежом).
Вершина $A$ трапеции $ABCD$ ($AD$ и $BC$ — основания) лежит в плоскости $\alpha$, а вершины $B,C,D$ не лежат в этой плоскости. Как расположена прямая $AD$ относительно плоскости $\alpha$?

• Решение: Точка $A$ принадлежит $\alpha$. Точка $D$ не принадлежит $\alpha$. Значит, прямая $AD$ имеет с $\alpha$ ровно одну общую точку $A$. Следовательно, прямая пересекает плоскость $\alpha$.

Задача 3 (На применение Теоремы 1).
Дана прямая $c$ и точка $M$ вне её. Сколько существует плоскостей, проходящих через $M$ и параллельных $c$ (пока интуитивно)? (Ответ: бесконечно много, как листы бумаги, нанизанные на палочку).