Текст урока. Урок 4. Решение задач на применение аксиом стереометрии.

1. Организационный момент и повторение теории

Приветствие. Проверка готовности к уроку (наличие чертежных инструментов: линейка, карандаш, ластик).

Фронтальный опрос «Верно — неверно» (сигнальные карточки или устно):

1. Через любые три точки проходит единственная плоскость. (Неверно: если точки на одной прямой — бесконечно много).

2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит в этой плоскости. (Верно — А2).

3. Через две пересекающиеся прямые можно провести бесконечно много плоскостей. (Неверно — только одну, Теорема 2).

4. Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой. (Верно — А3).

5. Через прямую и точку всегда можно провести плоскость. (Верно — Теорема 1, но если точка лежит на прямой — то бесконечно много).

Актуализация: На доске хаотично начерчены точки и линии. Задача: «Что нужно проверить, чтобы утверждать, что все эти точки лежат в одной плоскости?» (Найти две прямые, которые пересекаются, или три точки не на одной прямой).

2. Разбор задач на доказательство принадлежности плоскости

Задача 1 (Устно-графическая)

Условие: Треугольник $ABC$ и точка $M$ не лежат в его плоскости. Точки $E$ и $F$ — середины отрезков $MB$ и $MC$ соответственно. Докажите, что прямая $EF$ параллельна плоскости $ABC$ (пока интуитивно, главное — доказать, что $EF$ не имеет общих точек с плоскостью и лежит в одной плоскости с $BC$).

Краткое решение (доказательство принадлежности):

1. Точки $M,B,C$ задают плоскость $MBC$ (по Теореме 1, через прямую $BC$ и точку $M$).

2. В треугольнике $MBC$, отрезок $EF$ — средняя линия ($E$ и $F$ — середины). Значит, $EF\parallel BC$.

3. Прямая $BC$ лежит в плоскости $ABC$.

4. Если $EF\parallel BC$, и $EF$ не имеет общих точек с плоскостью $ABC$ (так как $M$ вне плоскости), то $EF$ параллельна плоскости $ABC$.

Вывод: Для доказательства часто нужно сначала «посадить» фигуру в одну плоскость, используя аксиомы.

Задача 2 (Письменно, с чертежом)

Условие: Точки $A,B,C$ лежат в плоскости $\alpha$, а точка $D$ не лежит в $\alpha$. Точки $K,L,M$ — середины отрезков $AD,BD,CD$ соответственно. Докажите, что плоскость $KLM$ параллельна плоскости $ABC$ (введение понятия: через середины ребер).

Ход рассуждений:

1. В треугольнике $ADB$: $KL$ — средняя линия → $KL\parallel AB$.

2. В треугольнике $ADC$: $KM$ — средняя линия → $KM\parallel AC$.

3. Прямые $AB$ и $AC$ пересекаются в точке $A$ и лежат в плоскости $ABC$.

4. Две пересекающиеся прямые $KL$ и $KM$ задают плоскость $KLM$ (Теорема 2).

5. Следовательно, плоскость $KLM$ параллельна плоскости $ABC$ (по признаку параллельности плоскостей — забегая вперед).

3. Задачи на нахождение линии пересечения плоскостей

Ключевое правило: Линия пересечения двух плоскостей — это прямая, проходящая через две общие точки этих плоскостей (А3).

Задача 3 (Базовая, на кубе)

Условие: Дан куб $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$. Найдите линию пересечения плоскостей:
а) $ABC$ и $A_1{B}_1{C}_1$. (Ответ: эти плоскости параллельны — нет общих точек, не пересекаются).
б) $A{A}_1{C}_1$ и $B{B}_1{D}_1$.

Решение пункта (б) с чертежом:

1. Плоскость $A{A}_1{C}_1$ (диагональное сечение) содержит диагональ $AC$ и ребро $A{A}_1$.

2. Плоскость $B{B}_1{D}_1$ содержит диагональ $BD$ и ребро $B{B}_1$.

3. Найдем общие точки:

   • Ребра $A{A}_1$ и $B{B}_1$ параллельны и не пересекаются.

   • Диагонали оснований $AC$ и $BD$ пересекаются в центре нижнего основания — точке $O$.

   • Диагонали верхнего основания $A_1{C}_1$ и $B_1{D}_1$ пересекаются в центре верхнего основания — точке $O_1$.

4. Точка $O$ принадлежит плоскости $A{A}_1{C}_1$ (лежит на $AC$) и плоскости $B{B}_1{D}_1$ (лежит на $BD$).

5. Точка $O_1$ принадлежит плоскости $A{A}_1{C}_1$ (лежит на $A_1{C}_1$) и плоскости $B{B}_1{D}_1$ (лежит на $B_1{D}_1$).

6. По аксиоме А3, плоскости пересекаются по прямой $O{O}_1$.

Ответ: $O{O}_1$.

Задача 4 (С тетраэдром)

Условие: В тетраэдре $DABC$ точки $M\in DC$, $N\in BC$. Постройте линию пересечения плоскости $(ABC)$ и плоскости $(MNB)$.

Решение:

1. Плоскость $ABC$ — основание.

2. Плоскость $MNB$ проходит через точки $N$ (на $BC$) и $B$ (вершина). Эти две точки уже лежат в плоскости $ABC$!

3. Значит, прямая $NB$ — это и есть линия пересечения плоскостей $ABC$ и $MNB$.

4. Построение сечений многогранников (простейшие способы)

Введение понятия:

• Секущая плоскость — любая плоскость, которая пересекает многогранник.

• Сечение — многоугольник, получившийся при пересечении многогранника с секущей плоскостью (это «срез»).

• Правило построения: Секущая плоскость пересекает грани по отрезкам. Концы отрезков лежат на ребрах многогранника.

Метод «по следам» (простейший случай — когда секущая плоскость проходит через точки на ребрах)

Пример: Построить сечение тетраэдра $DABC$ плоскостью, проходящей через точки $M\in DA$, $N\in DB$, $K\in DC$ (все на ребрах, выходящих из $D$).

Построение (учитель чертит на доске, ученики в тетради):

1. Соединяем точки, лежащие в одной грани:

   • $M$ и $N$ лежат в грани $DAB$ → проводим $MN$.

   • $N$ и $K$ лежат в грани $DBC$ → проводим $NK$.

   • $K$ и $M$ лежат в грани $DAC$ → проводим $KM$.

2. Получили треугольник $MNK$. Это и есть сечение.

Случай сложнее (одна точка на ребре, две на гранях): (даем без доказательства, просто алгоритм)

• Плоскость проходит через точки $P\in AB$, $Q\in AC$, $R\in AD$ (тетраэдр). Строим аналогично: $PQ,QR,PR$. Сечение — треугольник.

Вывод: Чтобы построить сечение, нужно:

1. Найти точки пересечения секущей плоскости с каждым ребром.

2. Соединить эти точки отрезками в порядке обхода грани.