Текст урока. Урок 6. Параллельность прямой и плоскости.

Сайт:	sdavalka.ru \| тренажёр, уроки, видео для подготовки к школьным экзаменам
Курс:	Геометрия, полный курс для 10 класса
Книга:	Текст урока. Урок 6. Параллельность прямой и плоскости.

Напечатано::	Гость
Дата:	среда, 16 сентября 2026, 12:47

Описание

Тип урока: Урок изучения и первичного закрепления новых знаний.
Цели урока:

Предметные: Сформулировать определение прямой, параллельной плоскости; доказать признак параллельности прямой и плоскости; научиться применять признак при решении стандартных задач.
Метапредметные: Развивать умение строить логические цепочки (доказательство от противного), анализировать взаимное расположение объектов в пространстве (стена-пол-потолок).
Личностные: Показать практическую значимость геометрии в архитектуре и строительстве.

1. Организационный момент и актуализация знаний
2. Определение прямой, параллельной плоскости
3. Признак параллельности прямой и плоскости (главное сегодня)
4. Примеры из практики (связь с жизнью)
5. Первичное закрепление (решение задач)

1. Организационный момент и актуализация знаний

Приветствие. Проверка домашнего задания (фронтально — примеры параллельных и скрещивающихся прямых из комнаты).

Повторение (устный опрос):

Дайте определение параллельных прямых в пространстве.
Сформулируйте теорему о параллельности трех прямых.
Какие два случая взаимного расположения прямой и плоскости вы знаете? (Пересекаются, лежит в плоскости, параллельны — последнее пока не изучали формально).
Сколько общих точек может иметь прямая и плоскость? (Ни одной, одну, бесконечно много).

Проблемная ситуация:
Учитель показывает указку (прямая) и поверхность стола (плоскость). Указка парит над столом, не касаясь его.

Вопрос: «Как доказать, что эта указка никогда не пересечет стол, если мы продлим её в обе стороны бесконечно? Перебирать все точки бесконечной прямой невозможно. Нужен удобный признак».
Тема урока: Параллельность прямой и плоскости.

2. Определение прямой, параллельной плоскости

Определение: Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Обозначение: $a ∥ α$ (читается: «прямая $a$ параллельна плоскости $α$ »).

Важно понимать:

Если прямая лежит в плоскости — это не параллельность (общих точек бесконечно много).
Если прямая пересекает плоскость — это не параллельность (одна общая точка).
Если прямая не имеет с плоскостью ни одной общей точки — это параллельность.

Пример из жизни: Линия пересечения стены и потолка (прямая) и плоскость пола. Они не имеют общих точек (если пол ровный). Значит, прямая параллельна плоскости пола.

3. Признак параллельности прямой и плоскости (главное сегодня)

Формулировка: Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Краткая запись для запоминания:

$a \subset̸ α, b \subset α, a ∥ b \Rightarrow a ∥ α$

Геометрическая иллюстрация:
На доске чертится плоскость $α$ (параллелограмм). Внутри неё рисуется прямая $b$ . Над плоскостью (или сбоку) рисуется прямая $a$ , которая идёт в том же направлении, что и $b$ , но не касается плоскости.

Доказательство (метод от противного — разбираем пошагово):

Дано: $a \subset̸ α$ , $b \subset α$ , $a ∥ b$ .
Предположим противное: Пусть $a$ не параллельна $α$ . Тогда у них есть общая точка. Так как $a$ не лежит в $α$ , эта общая точка может быть только одна — прямая $a$ пересекает плоскость $α$ в некоторой точке $M$ .
Рассмотрим плоскость $β$ : Так как $a ∥ b$ , через них можно провести единственную плоскость $β$ (по теореме о двух параллельных прямых).
Где находится точка $M$ ? $M$ принадлежит $a$ (по предположению) и $M$ принадлежит $α$ (по определению пересечения). Но $a$ лежит в $β$ , значит $M$ принадлежит $β$ .
Что такое $α \cap β$ ? Плоскости $α$ и $β$ имеют общую точку $M$ . Кроме того, прямая $b$ лежит в обеих плоскостях ( $b \subset α$ по условию, $b \subset β$ по построению). Значит, $α$ и $β$ пересекаются по прямой $b$ .
Противоречие: В плоскости $β$ прямая $a$ пересекает плоскость $α$ в точке $M$ , но при этом $a$ параллельна $b$ (лежащей в $α$ ). На плоскости (в $β$ ) через точку $M$ к прямой $b$ можно провести только одну параллельную прямую (аксиома планиметрии). Но у нас есть прямая $a$ (проходит через $M$ и параллельна $b$ ) и сама прямая $b$ ? Нет, $a$ не совпадает с $b$ . Однако если $a$ пересекает $α$ в $M$ , то в плоскости $β$ прямая $a$ пересекает прямую $b$ (так как $b$ — линия пересечения плоскостей). А это противоречит условию $a ∥ b$ .
Вывод: Наше предположение неверно. Следовательно, $a$ не пересекает $α$ . А так как $a \subset̸ α$ , то $a ∥ α$ . Теорема доказана.

(Для 10 класса допустимо упрощенное рассуждение: «Если бы $a$ пересекала $α$ , то в плоскости $β$ (где лежат $a$ и $b$ ) прямая $a$ пересекала бы линию пересечения плоскостей $b$ , что противоречит параллельности $a$ и $b$ .»)

4. Примеры из практики (связь с жизнью)

Учитель демонстрирует на модели комнаты (коробка) или на рисунке.

Объект (прямая)	Плоскость	Почему параллельны?
Линия пересечения стены и потолка	Плоскость пола	Эта прямая параллельна линии пересечения стены и пола (которая лежит в полу), а значит, по признаку параллельна и самому полу.
Край ступеньки лестницы	Плоскость потолка над лестницей	Край ступеньки параллелен краю площадки (лежит в плоскости потолка).
Траектория движения кончика авторучки по линейке (над столом)	Плоскость стола	Кончик движется параллельно краю стола (лежащему в столе).
Опоры моста (вертикальные балки)	Плоскость воды (условно)	Каждая опора параллельна другой, а другая опора пересекает воду? Нет, здесь важнее: вертикальная прямая параллельна вертикальной прямой, лежащей в плоскости? Уточним: плоскость воды горизонтальна, вертикальная прямая не может быть параллельна горизонтальной прямой. Этот пример не подходит. Лучше: Лыжня на склоне (прямая) параллельна линии пересечения склона с горизонтальной плоскостью (лежит в этой плоскости).

Самый наглядный пример: Рельс на мосту (прямая) и плоскость воды под мостом. Рельс параллелен береговой линии (лежит в плоскости воды? Нет, береговая линия — на берегу, а вода ниже. Сложно.)

Упростим: Швабра (прямая) стоит вертикально на полу. Её верхний конец описывает прямую, параллельную линии пересечения стены и потолка (которая лежит в плоскости потолка). Значит, верхний край швабры параллелен плоскости потолка.

5. Первичное закрепление (решение задач)

Задача 1 (Устно, на готовом чертеже куба)

Дан куб $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ . Докажите, что:
а) $A B ∥$ плоскости $A_{1} B_{1} C_{1}$ .
Решение: $A B ∥ A_{1} B_{1}$ (как противоположные стороны квадратов). $A_{1} B_{1}$ лежит в плоскости $A_{1} B_{1} C_{1}$ . $A B$ не лежит в этой плоскости. По признаку $A B ∥$ плоскости верхней грани.

б) $B C ∥$ плоскости $A B_{1} D_{1}$ .
Решение: $B C ∥ A D$ . $A D$ лежит в плоскости $A B_{1} D_{1}$ (так как точки $A$ и $D$ принадлежат этой плоскости). $B C$ не лежит в $A B_{1} D_{1}$ . Значит, $B C ∥$ плоскости $A B_{1} D_{1}$ .

Задача 2 (Письменно, средний уровень)

Условие: Точка $M$ не лежит в плоскости прямоугольника $A B C D$ . $K$ — середина $A M$ . Докажите, что прямая $C K$ параллельна плоскости $A B D$ .

Чертеж: Прямоугольник $A B C D$ (основание), над ним точка $M$ . $K$ на середине $A M$ .

Доказательство:

Нам нужно доказать $C K ∥$ плоскости $A B D$ (то есть плоскости основания).
Вспомогательное построение: проведем диагональ $A C$ в основании.
В треугольнике $A C M$ : $K$ — середина $A M$ , $?$ — нужна вторая середина. У нас нет середины $A C$ . Попробуем иначе.
*Рассмотрим треугольник $A M C$ . $K$ — середина $A M$ . Пусть $O$ — середина $A C$ (центр прямоугольника). Тогда $K O$ — средняя линия треугольника $A M C$ → $K O ∥ M C$ . Это не то.
Верное решение: Проведем $M K$ и $K D$ … Лучше: Докажем, что $C K$ параллельна прямой в плоскости $A B D$ .
*Рассмотрим треугольник $A B M$ . В нем $K$ — середина $A M$ , $?$ — нет середины $A B$ .
*Рассмотрим треугольник $A M D$ . $K$ — середина $A M$ . Пусть $P$ — середина $A D$ . Тогда $K P$ — средняя линия → $K P ∥ M D$ . Не подходит.
- Правильный путь: В треугольнике $A C M$ проведем среднюю линию через $K$ параллельно $A C$ . Она пересечет $C M$ в ее середине $L$ . Получим $K L ∥ A C$ . $A C$ лежит в плоскости $A B D$ . $C K$ не лежит в $A B D$ . Вывод: $C K ∥$ плоскости $A B D$ ? Нет, $C K$ — это не $K L$ .
- Упростим задачу: На самом деле, прямая $C K$ пересекает плоскость $A B D$ в точке $C$ , которая лежит в основании. Значит, $C K$ пересекает плоскость $A B D$ в точке $C$ . Следовательно, она не может быть параллельна плоскости $A B D$ . Ошибка в условии задачи.

Корректировка: Возьмем другую стандартную задачу.

Задача 2 (исправленная, типовая)

Условие: Точка $M$ не лежит в плоскости параллелограмма $A B C D$ . Точка $K$ — середина $M B$ . Докажите, что прямая $A K$ параллельна плоскости $M C D$ .

Чертеж: Параллелограмм $A B C D$ в основании. Над ним точка $M$ . $K$ — середина $M B$ .

Доказательство:

Рассмотрим плоскость $M C D$ . Нам нужно доказать $A K ∥ (M C D)$ .
В треугольнике $M A B$ (или в плоскости $M A B$ ): $K$ — середина $M B$ . Возьмем середину $M A$ — точку $P$ .
$P K$ — средняя линия треугольника $M A B$ → $P K ∥ A B$ .
В параллелограмме $A B C D$ : $A B ∥ C D$ .
По теореме о параллельности трех прямых: $P K ∥ C D$ .
Прямая $C D$ лежит в плоскости $M C D$ .
Прямая $A K$ не лежит в плоскости $M C D$ (так как $A$ не принадлежит $M C D$ , а $K$ — принадлежит? $K$ — середина $M B$ , $M$ и $B$ — $B$ не принадлежит $M C D$ ? $B$ — основание, не лежит в $M C D$ . Значит, $K$ не лежит в $M C D$ ).
Однако $A K$ не параллельна $P K$ . У нас есть $A K$ — она не параллельна $C D$ . Признак не работает.

Возьмем классическую простую задачу:

Задача 2 (классика)

Условие: Точка $M$ не лежит в плоскости треугольника $A B C$ . Точки $K$ и $L$ — середины отрезков $M A$ и $M B$ соответственно. Докажите, что прямая $K L$ параллельна плоскости $A B C$ .

Решение:

В треугольнике $A M B$ : $K$ — середина $A M$ , $L$ — середина $M B$ . Значит, $K L$ — средняя линия.
Следовательно, $K L ∥ A B$ .
Прямая $A B$ лежит в плоскости $A B C$ .
Прямая $K L$ не лежит в плоскости $A B C$ (так как точки $K$ и $L$ находятся вне этой плоскости, иначе $M$ лежала бы в ней).
По признаку параллельности прямой и плоскости: $K L ∥$ плоскости $A B C$ . Что и требовалось доказать.

Задача 3 (Применение признака, устно)

Условие: Плоскость $α$ проходит через сторону $A B$ треугольника $A B C$ . Точка $M$ — середина $A C$ , точка $N$ — середина $B C$ . Докажите, что $M N ∥ α$ .