Текст урока. Урок 9. Тетраэдр и параллелепипед. Построение сечений.

1. Организационный момент и актуализация знаний

Приветствие. Проверка наличия чертежных инструментов (линейка, карандаш, ластик).

Повторение (фронтальный опрос):

1. Какие фигуры называются многогранниками? (Тела, ограниченные плоскими многоугольниками).

2. Назовите известные вам многогранники (куб, пирамида, призма).

3. Какие аксиомы и теоремы мы используем для доказательства принадлежности точек и прямых плоскости? (А1, А2, следствия).

4. Что такое секущая плоскость? (Плоскость, пересекающая многогранник).

Постановка задачи:
Учитель показывает модели треугольной пирамиды (тетраэдра) и наклонного параллелепипеда (или куба).

• «Сегодня мы познакомимся с двумя "кирпичиками" стереометрии — тетраэдром и параллелепипедом. Научимся их правильно чертить и, главное, строить сечения — то есть "срезы" этих фигур плоскостью. Это основа для многих инженерных и архитектурных задач».

2. Тетраэдр (от греч. «тетра» — четыре, «эдр» — грань)

Определение: Тетраэдр — это многогранник, поверхность которого состоит из четырёх треугольников.

Элементы тетраэдра:

• Грани: 4 треугольника (например, $ABC,ABD,ACD,BCD$).

• Рёбра: 6 отрезков (стороны треугольников: $AB,AC,AD,BC,BD,CD$).

• Вершины: 4 точки ($A,B,C,D$).

• Противоположные рёбра: не имеющие общих вершин (например, $AB$ и $CD$, $AC$ и $BD$, $AD$ и $BC$).

Особенность: Тетраэдр — это треугольная пирамида. Любую его грань можно считать основанием.

Изображение тетраэдра на плоскости:

• Основание ($ABC$) рисуется обычно (треугольник).

• Вершина $D$ соединяется с вершинами основания штриховыми или сплошными линиями (задние ребра часто штрихуют).

• Правило: Невидимые ребра изображаются штриховой линией.

Пример из жизни: Молекула метана $C{H}_4$, египетские пирамиды (четырехугольные — не тетраэдр, а треугольные — да), игральная кость (20-гранник — нет, тетраэдр — это 4-гранник, используется в настольных играх).

3. Параллелепипед (от греч. «параллелос» — параллельный, «эпипедон» — плоскость)

Определение: Параллелепипед — это многогранник, поверхность которого состоит из шести параллелограммов.

Свойства параллелепипеда (доказываются с помощью параллельности прямых и плоскостей):

1. Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.

   • Например, $ABCD\parallel A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ и $ABCD=A_1{B}_1{C}_1{D}_1$.

2. Все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

   • Диагонали: $A{C}_1,B{D}_1,C{A}_1,D{B}_1$. Точка пересечения $O$ — центр симметрии.

3. Противоположные рёбра параллельны и равны.

Частные случаи параллелепипеда:

• Прямой параллелепипед: боковые грани — прямоугольники.

• Прямоугольный параллелепипед: все грани — прямоугольники (как коробка).

• Куб: все грани — квадраты.

Изображение параллелепипеда:

• Рисуются два равных параллелограмма (нижнее и верхнее основания).

• Соединяются соответствующие вершины вертикальными (или наклонными) отрезками.

Пример из жизни: Кирпич, спичечный коробок, комната, аквариум, системный блок.

4. Понятие сечения многогранника

Определение: Сечением многогранника называется многоугольник, сторонами которого являются отрезки, по которым секущая плоскость пересекает грани многогранника.

Основные правила построения сечений (метод следов):

1. Секущая плоскость пересекает каждую грань по отрезку.

2. Концы отрезков лежат на рёбрах многогранника.

3. Если секущая плоскость пересекает две параллельные грани, то линии пересечения параллельны (свойство параллельных плоскостей).

4. Если две точки сечения лежат в одной грани, через них можно провести прямую — это след пересечения плоскости с гранью.

5. Точки пересечения секущей плоскости с рёбрами многогранника называются следами.

Алгоритм построения сечения (для точек на рёбрах):

1. Соединить точки, лежащие в одной грани.

2. Если полученных отрезков недостаточно, найти точки пересечения построенных прямых с продолжениями рёбер (или с линиями пересечения плоскостей граней).

3. Провести недостающие отрезки в других гранях.

5. Построение простейших сечений

Сечение тетраэдра

Задача 1: Построить сечение тетраэдра $DABC$ плоскостью, проходящей через точки $M\in AB$, $N\in AC$, $K\in AD$. (Все три точки на рёбрах, выходящих из одной вершины $A$).

Построение:

1. Точки $M$ и $N$ лежат в грани $ABC$ → проводим $MN$.

2. Точки $N$ и $K$ лежат в грани $ADC$ → проводим $NK$.

3. Точки $K$ и $M$ лежат в грани $ADB$ → проводим $KM$.

4. Треугольник $MNK$ — искомое сечение.

Вывод: Если точки лежат на трёх рёбрах, выходящих из одной вершины, сечение — треугольник.

Задача 2 (классика): Построить сечение тетраэдра $DABC$ плоскостью, проходящей через точки $M\in DC$, $N\in DB$, $K\in AB$. (Точки не выходят из одной вершины).

Чертеж:

1. $M$ и $N$ лежат в грани $DBC$ → проводим $MN$ (отрезок внутри грани).

2. $MN$ пересекает ребро $BC$ в точке $P$ (продолжаем $MN$ до пересечения с $BC$, так как $BC$ — линия пересечения граней $DBC$ и $ABC$).

3. $P$ и $K$ лежат в грани $ABC$ → проводим $PK$. $PK$ пересекает ребро $AC$ в точке $L$.

4. Соединяем: $K$ с $N$ (лежат в грани $ABD$) и $L$ с $M$ (лежат в грани $ADC$).

5. Четырехугольник $KNLM$ — искомое сечение.

Сечение параллелепипеда

Задача 3: Построить сечение параллелепипеда $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ плоскостью, проходящей через точки $M\in A_1{B}_1$, $N\in B_1{C}_1$, $P\in C{C}_1$.

Построение:

1. $M$ и $N$ лежат в верхней грани $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ → проводим $MN$. $MN$ лежит в этой грани.

2. $N$ и $P$ лежат в грани $B{B}_1{C}_{1}C$ → проводим $NP$. $NP$ лежит в этой грани.

3. Нужно построить след в нижнем основании. Для этого продолжим $MN$ до пересечения с продолжением $D_1{A}_1$ (или $A_1{B}_1$) — получаем точку $Q$.

4. $Q$ лежит в плоскости нижнего основания (так как принадлежит прямой $A_1{D}_1$, параллельной $AD$). Через $Q$ и $P$ ( $P$ не в основании) — сложно.

   • Проще: найдем пересечение $MN$ с ребром $D_1{C}_1$ (точка $R$). $R$ и $P$ лежат в грани $D_1{C}_{1}CD$ → проводим $RP$. $RP$ пересекает $DC$ в точке $S$.

5. Соединяем $S$ с точкой пересечения плоскости с ребром $A{A}_1$? Пока не нашли.

   • Альтернативный метод: Продолжим $NP$ до пересечения с $BC$ (точка $T$). $T$ и $M$ не в одной грани.

   • Упростим задачу для урока:

Задача 3 (упрощённая, учебная): Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки $M\in A{A}_1$, $N\in B{B}_1$, $K\in C{C}_1$.

Решение:

1. $M$ и $N$ в грани $A{A}_1{B}_{1}B$ → проводим $MN$.

2. $N$ и $K$ в грани $B{B}_1{C}_{1}C$ → проводим $NK$.

3. Грани $A{A}_1{D}_{1}D$ и $D{D}_1{C}_{1}C$ параллельны? Нет, они смежные.

   • Используем свойство: если плоскость пересекает две параллельные грани, то линии пересечения параллельны.

   • Верхняя грань $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ параллельна нижней $ABCD$. Найдем линию пересечения с верхней гранью: это $MN$. Значит, в нижней грани линия пересечения пройдёт через точку пересечения с ребром $D{D}_1$ (назовём $L$) параллельно $MN$.

   • Проведём через $K$ прямую, параллельную $MN$, до пересечения с $D_1{C}_1$ (точка $L$).

4. Соединяем $M$ с $L$ (лежат в грани $A{A}_1{D}_{1}D$).

5. Шестиугольник $MNKL$ (с учетом вершин) — сечение. (На самом деле получится четырёхугольник, если точки на трёх параллельных рёбрах).

Более удачный простой пример:

Задача 4 (базовая для параллелепипеда): Построить сечение плоскостью через точки $M\in AB$, $N\in BC$, $P\in C{C}_1$.

Построение:

1. $M$ и $N$ в нижнем основании → проводим $MN$ до пересечения с продолжением $DC$ (точка $Q$) и с $AD$ (точка $R$).

2. $Q$ и $P$ лежат в грани $D{D}_1{C}_{1}C$ → проводим $QP$. $QP$ пересекает $D_1{C}_1$ в точке $L$, а $D{D}_1$ в точке $S$.

3. $R$ и $S$ лежат в грани $A{A}_1{D}_{1}D$ → проводим $RS$. $RS$ пересекает $A_1{D}_1$ в точке $T$, а $A{A}_1$ в точке $U$.

4. Соединяем $T$ с $L$ (в верхнем основании) и $U$ с $M$ (в грани $A{A}_1{B}_{1}B$? Нет, $M$ уже есть, $U$ и $M$ лежат в $A{A}_1{B}_{1}B$ — проводим $UM$.

5. Многоугольник $MNPLTU$ — сечение (шестиугольник).

Для 10 класса в рамках одного урока достаточно разобрать одну-две простые задачи на сечение тетраэдра и одну на сечение параллелепипеда (например, плоскостью, параллельной грани).