Текст урока. Урок 15. Пирамида.

1. Организационный момент и актуализация знаний

Приветствие. Проверка домашнего задания (выборочно — задачи на призму).

Повторение (фронтальный опрос):

1. Дайте определение многогранника.

2. Что такое призма? Назовите её элементы.

3. Чем отличается прямая призма от наклонной?

4. Как найти площадь боковой поверхности прямой призмы? ( $S_{\text{бок}}=P_{\text{осн}}\cdot h$ ).

Проблемная ситуация:
Учитель демонстрирует модель пирамиды (например, египетскую) и модель призмы.

• «Мы знаем, что такое призма: два основания и боковые грани-параллелограммы. А что, если одно из оснований "сжать" в точку? Какая фигура получится?»

• Тема урока: Пирамида — «родственница» призмы, но с одной вершиной вместо второго основания.

2. Пирамида: определение и элементы

Определение: Пирамида — это многогранник, который состоит из многоугольника (основания) и треугольников (боковых граней), имеющих общую вершину, не лежащую в плоскости основания.

Элементы пирамиды:

• Основание — многоугольник $A_1{A}_2\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}{A}_n$.

• Вершина — точка $S$, не лежащая в плоскости основания.

• Боковые грани — треугольники $S{A}_1{A}_2,S{A}_2{A}_3,\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.},S{A}_n{A}_1$.

• Боковые рёбра — отрезки $S{A}_1,S{A}_2,\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.},S{A}_n$.

• Высота — перпендикуляр $SO$, опущенный из вершины $S$ на плоскость основания ( $O$ — основание высоты).

Обозначение пирамиды: По количеству сторон основания: треугольная (тетраэдр), четырёхугольная, пятиугольная и т.д.

Важное замечание: Тетраэдр — это частный случай треугольной пирамиды, у которой все грани — треугольники (в том числе и основание).

Примеры в окружающем мире:

• Египетские пирамиды (четырёхугольные).

• Крыши домов (часто треугольные пирамиды).

• Кристаллы некоторых минералов.

• Упаковка «Тетропак» (молоко, сок) — имеет форму тетраэдра или четырёхугольной пирамиды (часто усечённой).

3. Виды пирамид

По форме основания:

• Треугольная пирамида (тетраэдр)

• Четырёхугольная пирамида

• Шестиугольная пирамида и т.д.

По расположению вершины:

• Произвольная пирамида — высота падает в любую точку основания.

• Правильная пирамида (важнейший вид).

4. Правильная пирамида

Определение: Пирамида называется правильной, если её основание — правильный многоугольник (равносторонний треугольник, квадрат, правильный шестиугольник), а основание высоты совпадает с центром этого многоугольника.

Свойства правильной пирамиды:

1. Все боковые рёбра равны.

2. Все боковые грани — равные равнобедренные треугольники.

3. Высота пирамиды проходит через центр описанной и вписанной окружностей основания.

4. Все апофемы равны.

5. Апофема правильной пирамиды

Определение: Апофема — это высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из вершины пирамиды к стороне основания.

Обозначение: $a$ (или иногда $l$).

Свойство: В правильной пирамиде все апофемы равны, так как все боковые грани — равные равнобедренные треугольники.

Где используется: Апофема необходима для вычисления площади боковой поверхности.

6. Формула площади боковой поверхности правильной пирамиды

Формула площади боковой поверхности правильной пирамиды:

$$S_{\text{бок}}=\frac{1}{2}{P}_{\text{осн}}\cdot a$$

где $P_{\text{осн}}$ — периметр основания, $a$ — апофема.

Доказательство (вывод формулы):

1. Боковая поверхность правильной пирамиды состоит из $n$ равных равнобедренных треугольников (по числу сторон основания).

2. Площадь одного бокового треугольника: $S_{\text{тр}}=\frac{1}{2}\cdot (\text{сторона основания})\cdot (\text{апофема})$.

3. Суммируя площади всех $n$ треугольников, получаем:

   $$S_{\text{бок}}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot (A_1{A}_2+A_2{A}_3+\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}+A_n{A}_1)=\frac{1}{2}\cdot P_{\text{осн}}\cdot a$$

   Теорема доказана.

Площадь полной поверхности пирамиды:

$$S_{\text{полн}}=S_{\text{бок}}+S_{\text{осн}}$$

Сравнение с прямой призмой:

• У прямой призмы: $S_{\text{бок}}=P_{\text{осн}}\cdot h$ (где $h$ — высота призмы).

• У правильной пирамиды: $S_{\text{бок}}=\frac{1}{2}{P}_{\text{осн}}\cdot a$ (где $a$ — апофема).

• Появляется коэффициент $\frac{1}{2}$, так как вместо прямоугольников — треугольники.

7. Усечённая пирамида (общее понятие)

Определение: Усечённая пирамида — это многогранник, который получается из полной пирамиды отсечением от неё верхней части плоскостью, параллельной основанию.

Элементы усечённой пирамиды:

• Нижнее основание — исходный многоугольник.

• Верхнее основание — многоугольник, подобный нижнему.

• Боковые грани — трапеции.

• Высота — расстояние между плоскостями оснований.

• Апофема усечённой пирамиды — высота боковой грани-трапеции.

Примеры из жизни:

• Усечённая пирамида — это форма многих архитектурных сооружений (египетские пирамиды имеют усечённую вершину? Нет, они острые. А вот мастабы — да).

• Крыша дома с плоским верхом.

• Ведро (в форме усечённого конуса, но если грани плоские — усечённая пирамида).

• Огранка драгоценных камней.

Формула площади боковой поверхности правильной усечённой пирамиды (справочно):

$$S_{\text{бок}}=\frac{1}{2}(P_1+P_2)\cdot a$$

где $P_1$ и $P_2$ — периметры оснований, $a$ — апофема усечённой пирамиды.

8. Первичное закрепление

Задача 1 (Устно, на элементы)

В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания 6 см, апофема 5 см. Найти:

1. Периметр основания. ( $P=24$ см).

2. Площадь боковой поверхности. ( $S_{\text{бок}}=\frac{1}{2}\cdot 24\cdot 5=60$ см²).

3. Площадь основания. ( $S_{\text{осн}}=36$ см²).

4. Площадь полной поверхности. ( $S_{\text{полн}}=60+36=96$ см²).

Задача 2 (Письменно, средний уровень)

Условие: В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 6 см, апофема равна 4 см. Найдите площадь полной поверхности.

Решение:

1. Периметр основания: $P_{\text{осн}}=3\cdot 6=18$ см.

2. Площадь боковой поверхности:

   $$S_{\text{бок}}=\frac{1}{2}\cdot 18\cdot 4=36{\text{см}}^2$$

3. Площадь основания (правильный треугольник):

   $$S_{\text{осн}}=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 6^2=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 36=9\sqrt{3}{\text{см}}^2$$

4. Полная поверхность:

   $$S_{\text{полн}}=36+9\sqrt{3}{\text{см}}^2$$

Ответ: $36+9\sqrt{3}$ см².

Задача 3 (Устно, на свойства правильной пирамиды)

В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро равно 10 см, а сторона основания 6 см. Как найти апофему? (По теореме Пифагора в треугольнике, образованном апофемой, половиной стороны основания и боковым ребром: $a=\sqrt{{10}^2-3^2}=\sqrt{100-9}=\sqrt{91}$).

Задача 4 (На усечённую пирамиду, устно)

Чем отличается боковая грань усечённой пирамиды от боковой грани полной пирамиды? (У полной — треугольник, у усечённой — трапеция).