Текст урока. Урок 2. Сечения цилиндра. Площадь поверхности цилиндра.

1. Сечения цилиндра плоскостью

Если пересечь цилиндр воображаемой плоскостью, форма среза будет зависеть от того, как именно эта плоскость расположена относительно оси цилиндра. Рассмотрим три основных случая.

А) Сечение, параллельное оси цилиндра

Как строим: Плоскость режет цилиндр вертикально, но не проходит через центр (или проходит — частный случай).

Форма сечения: Прямоугольник (или квадрат, если высота равна диаметру).

Пояснение: Плоскость пересекает оба основания по хордам, а боковую поверхность — по двум образующим. Получается четырехугольник с прямыми углами.

Пример: Если разрезать трубу вдоль (не через центр), в разрезе увидим прямоугольник.

Б) Сечение, перпендикулярное оси

Как строим: Плоскость горизонтальна, строго параллельна основаниям.

Форма сечения: Круг, равный основанию цилиндра.

Пояснение: Любое сечение цилиндра плоскостью, перпендикулярной оси, дает круг того же радиуса $R$. Представьте, что вы отрезали от банки «шайбу» — её верх и низ — одинаковые круги.

В) Сечение, наклонное к оси

Как строим: Плоскость проходит под углом к оси, пересекая все образующие.

Форма сечения: Эллипс (овал).

Общее представление: Если вы нарежете колбасу (цилиндр) наискосок, срез будет овальным. В школьном курсе это рассматривается без доказательства, только как визуальный факт.

Г) Осевое сечение (важнейший частный случай)

Определение:
Осевым сечением цилиндра называется сечение плоскостью, проходящей через ось цилиндра.

Свойства осевого сечения:

• Это прямоугольник.

• Его стороны:

  • Высота цилиндра $h$.

  • Диаметр основания $2R$.

• Площадь осевого сечения: $S_{\text{ос}\mathrm{.}\text{сеч}}=2R\cdot h$.

Пример: Если разрезать банку ровно пополам сверху вниз через центр, получится прямоугольный «профиль» банки.

2. Развёртка цилиндра

Чтобы вычислить площадь поверхности цилиндра, мысленно «разрежем» его боковую стенку вдоль образующей и «развернём» на плоскость.

Что получается:

• Боковая поверхность превращается в прямоугольник.

• Длина этого прямоугольника равна длине окружности основания $C=2\pi R$.

• Ширина прямоугольника равна высоте цилиндра $h$.

• Основания цилиндра — это два круга радиуса $R$ (их тоже можно приложить к прямоугольнику сверху и снизу).

Жизненная аналогия: Боковая поверхность банки — это этикетка. Если отклеить этикетку и расправить, получится обычный прямоугольный лист бумаги.

3. Площадь боковой поверхности цилиндра

Вывод формулы

Площадь боковой поверхности цилиндра равна площади её развёртки — то есть площади прямоугольника:

$$S_{\text{бок}}=\text{длина}\times \text{ширина}=(2\pi R)\cdot h$$

Итоговая формула:

$$\boxed{{\displaystyle S_{\text{бок}}=2\pi Rh}}$$

Где:

• $R$ — радиус основания,

• $h$ — высота цилиндра.

• $\pi \approx \mathrm{3,14}$.

Запомните: Боковая поверхность — это только «стенка», без донышка и крышки.

4. Площадь полной поверхности цилиндра

Полная поверхность — это сумма боковой поверхности и двух оснований (кругов).

Площадь одного основания (круга):

$$S_{\text{кр}}=\pi R^2$$

Площадь двух оснований:

$$2\pi R^2$$

Складываем с боковой поверхностью:

$$S_{\text{полн}}=S_{\text{бок}}+2S_{\text{осн}}=2\pi Rh+2\pi R^2$$

Выносим общий множитель $2\pi R$:

$$S_{\text{полн}}=2\pi R(R+h)$$​

Смысл: Чтобы оклеить цилиндр цветной бумагой со всех сторон (дно, крышка, стенка), нужно вырезать прямоугольник и два круга.