Текст урока. Урок 4. Площадь поверхности конуса.

1. Развёртка конуса

Чтобы вычислить площадь поверхности конуса, нужно, как и в случае с цилиндром, мысленно «развернуть» его боковую поверхность на плоскость.

Как получить развёртку:

1. Возьмём прямой круговой конус.

2. Разрежем его боковую поверхность вдоль одной из образующих (например, $PA$).

3. «Распластаем» её на столе.

Результат:
Боковая поверхность конуса превращается в плоскую фигуру — круговой сектор.

Что представляет собой этот сектор?

• Радиус сектора равен образующей конуса $l$ (расстояние от вершины до края основания).

• Длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса (той самой линии, по которой мы разрезали): $C=2\pi R$.

Жизненная аналогия: Если вырезать из бумаги круг, вырезать в нём сектор (как кусок пиццы), а оставшуюся часть свернуть в кулёк — получится модель конуса. И наоборот: если распороть бумажный кулёк по шву, он станет плоским сектором.

Изображение развёртки:

• Рисуем окружность (вспомогательная), но используем только её часть — сектор.

• Центр сектора — вершина $P$ конуса.

• Между радиусами сектора — угол $\alpha$ (центральный угол развёртки).

2. Площадь боковой поверхности конуса

Вывод формулы $S_{\text{бок}}=\pi Rl$

Площадь боковой поверхности конуса равна площади её развёртки — то есть площади кругового сектора с радиусом $l$ и дугой $2\pi R$.

Из курса планиметрии (9 класс) мы знаем формулу площади сектора двумя способами. Используем удобный для нас:

Способ 1 (через длину дуги и радиус):

Площадь полного круга радиуса $l$ равна $S_{\text{круга}}=\pi l^2$
Длина полной окружности того же радиуса: $2\pi l$

Наш сектор — это часть круга. Его площадь относится к площади круга так же, как длина дуги сектора относится к длине полной окружности:

$$\frac{S_{\text{бок}}}{S_{\text{круга}}}=\frac{\text{длина дуги сектора}}{\text{длина окружности}}$$

Подставляем:

$$\frac{S_{\text{бок}}}{\pi l^2}=\frac{2\pi R}{2\pi l}=\frac{R}{l}$$

Отсюда:

$$S_{\text{бок}}=\pi l^2\cdot \frac{R}{l}=\pi Rl$$

Итоговая формула:

$$\boxed{{\displaystyle S_{\text{бок}}=\pi Rl}}$$

Где:

• $R$ — радиус основания конуса,

• $l$ — образующая конуса.

Важно: Формула очень похожа на формулу площади треугольника $\frac{1}{2}\cdot (\text{основание})\cdot \text{высота}$, если заметить, что боковую поверхность можно представить как сумму бесконечно узких треугольников с основанием $2\pi R$ и высотой $l$. Но строгий вывод — через сектор.

3. Площадь полной поверхности конуса

Полная поверхность конуса складывается из боковой поверхности и площади одного основания (конус имеет одно дно — круг).

Площадь основания (круга радиуса $R$):

$$S_{\text{осн}}=\pi R^2$$

Складываем:

$$S_{\text{полн}}=S_{\text{бок}}+S_{\text{осн}}=\pi Rl+\pi R^2$$

Выносим общий множитель $\pi R$:

$$\boxed{{\displaystyle S_{\text{полн}}=\pi R(R+l)}}$$

Смысл: Чтобы обклеить поверхность конуса цветной бумагой (без внутренней полости), нужен сектор (на боковую часть) и один круг (на дно).

4. Площадь поверхности усечённого конуса (обзорно)

Напомним: усечённый конус получается, если отсечь от полного конуса его верхнюю часть плоскостью, параллельной основанию. У него два основания — нижнее (радиус $R$) и верхнее (радиус $r$).

Развёртка усечённого конуса:
Боковая поверхность разворачивается в плоскую фигуру — часть кругового кольца (её называют сектор кольца или трапецеидальная форма при определённом разрезе). Проще говоря, это полоска, которая шире снизу и уже сверху.

Формула площади боковой поверхности усечённого конуса (выводится через разность площадей боковых поверхностей двух полных конусов: большого и дорезанного сверху):

$$\boxed{{\displaystyle S_{\text{бок}}^{\text{усеч}}=\pi (R+r)l}}$$

Где:

• $R$ — радиус нижнего основания,

• $r$ — радиус верхнего основания,

• $l$ — образующая усечённого конуса (отрезок, соединяющий края оснований).

Площадь полной поверхности усечённого конуса:

$$S_{\text{полн}}^{\text{усеч}}=S_{\text{бок}}+\pi R^2+\pi r^2=\pi (R+r)l+\pi R^2+\pi r^2$$

Пример из жизни: Чтобы покрасить ведро (усечённый конус) снаружи и с двух сторон (дно не всегда, но если нужно — считаем все круги), используют эти формулы. Стандартная школьная задача чаще ограничивается боковой поверхностью.