Текст урока. Урок 5. Сфера и шар.

1. Сфера: определение и элементы

В жизни мы часто встречаем предметы шарообразной формы: мяч, глобус, планеты, капли ртути. В геометрии для их описания используют понятия сферы и шара.

Начнём со сферы. Сфера — это поверхность.

Определение (как ГМТ):
Сферой называется геометрическое место точек пространства, равноудалённых от данной точки (центра) на заданное положительное расстояние.

Другими словами:
Сфера — это поверхность, состоящая из всех точек, находящихся на фиксированном расстоянии $R$ от точки $O$.

Элементы сферы:

• Центр сферы — точка $O$.

• Радиус сферы $R$ — расстояние от центра до любой точки сферы (отрезок $OA$, где $A$ — точка на сфере).

• Диаметр сферы $D$ — отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через центр ($D=2R$).

Аналогия: Сфера — это «пустая оболочка», мыльный пузырь (сама плёнка). У сферы нет внутреннего объёма — это только граница.

2. Шар: определение и элементы

Теперь перейдём к телу, которое эта сфера ограничивает.

Определение:
Шаром называется геометрическое тело, состоящее из всех точек пространства, расстояние от которых до данной точки (центра) не превышает заданного радиуса $R$.

Иными словами: шар — это сфера вместе со всем её внутренним содержимым.

Шар ограничен сферой.

Элементы шара (те же, что и у сферы):

• Центр шара $O$.

• Радиус шара $R$.

• Диаметр шара $2R$.

Сравнение:
Сфера = апельсиновая корка (только кожица).
Шар = весь апельсин (корка + мякоть).

3. Взаимное расположение сферы и плоскости

Это один из ключевых вопросов урока. Пусть дана сфера радиуса $R$ с центром $O$ и плоскость $\alpha$. Обозначим расстояние от центра сферы до плоскости как $d$ (длина перпендикуляра из $O$ на $\alpha$).

Возможны три случая.

Случай 1: Плоскость не пересекает сферу ($d>R$)

Условие: Расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса.

Результат: У плоскости и сферы нет общих точек. Плоскость проходит мимо сферы, не касаясь её.

Пример: Потолок комнаты и маленький мяч, лежащий на полу (потолок дальше, чем радиус мяча, если мяч не достаёт до потолка).

Случай 2: Плоскость касается сферы ($d=R$)

Определение: Касательная плоскость к сфере.

Условие: Расстояние от центра до плоскости ровно равно радиусу.

Результат: У плоскости и сферы одна общая точка — точка касания $T$.

Жизненный пример: Мяч лежит на столе (или бильярдный шар касается борта). Плоскость стола касается сферы ровно в одной точке.

Случай 3: Плоскость пересекает сферу ($d<R$)

Условие: Расстояние от центра до плоскости меньше радиуса.

Результат: Плоскость пересекает сферу по окружности радиуса $r$.

Как найти радиус окружности сечения?

Рассмотрим прямоугольный треугольник, где:

• $R$ — радиус сферы (гипотенуза),

• $d$ — расстояние от центра до плоскости (катет),

• $r$ — радиус окружности сечения (второй катет).

По теореме Пифагора:

$$r=\sqrt{R^2-d^2}$$

4. Сечение шара плоскостью. Большой круг

Поскольку шар — это сфера + внутренность, сечение шара плоскостью даёт круг (а не просто окружность).

Важный частный случай: Если плоскость проходит через центр шара ($d=0$).

Такое сечение называется большим кругом (для сферы — большая окружность).

Свойства большого круга:

• Его радиус равен радиусу шара $R$.

• Он делит шар на две равные части (полушария).

• Большой круг — это максимальное по площади сечение шара.

Пример: Экватор на глобусе — это большая окружность. Любой меридиан — тоже большая окружность.

5. Касательная плоскость к сфере

Вернёмся ко второму случаю ($d=R$).

Определение:
Касательной плоскостью к сфере называется плоскость, имеющая со сферой ровно одну общую точку (точку касания).

Теорема (свойство касательной плоскости):

Радиус сферы, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной плоскости.

$$OT\perp \alpha$$

Обратная теорема также верна: если плоскость перпендикулярна радиусу в его конце, лежащем на сфере, то эта плоскость касается сферы.

Аналогия: Касательная к окружности на плоскости перпендикулярна радиусу. В пространстве то же самое, но для плоскости.

6. Площадь сферы

Площадь поверхности сферы (она же — площадь поверхности шара) вычисляется по формуле, которую мы пока примем без вывода.

Формула:

$$\boxed{{\displaystyle S=4\pi R^2}}$$

Где $R$ — радиус сферы.

Важное замечание:
Вывод этой формулы опирается на понятие объёма шара или на методы математического анализа (интегрирование). Подробно мы рассмотрим её в теме «Объёмы тел вращения» (следующие уроки). Пока же запоминаем и используем для решения задач.

Интересный факт: Площадь сферы ровно в 4 раза больше площади большого круга ($S_{\text{круга}}=\pi R^2$).