Текст урока. Урок 6. Комбинации тел вращения и многогранников.

1. Введение: зачем изучать комбинации фигур

В реальном мире редко встречаются изолированные геометрические тела. Часто одна фигура вписана в другую или описана вокруг неё:

• Бочка (цилиндр) с квадратным ящиком внутри.

• Конфета в круглой коробке (шар в кубе).

• Египетские пирамиды с шаром внутри (символ).

• Огранка драгоценных камней (многогранник вписан в сферу).

Решение таких задач требует связывать свойства многогранников (призмы, пирамиды) и тел вращения (цилиндра, конуса, сферы).

Ключевая идея:
Если одна фигура вписана в другую, значит, все точки одной принадлежат другой (или лежат на её границе).

2. Призма и цилиндр

А) Призма, вписанная в цилиндр

Определение:
Призма называется вписанной в цилиндр, если её основания вписаны в основания цилиндра (т.е. все вершины оснований призмы лежат на окружностях оснований цилиндра), а боковые рёбра параллельны оси цилиндра.

Условия:

• Основания призмы — многоугольники, вписанные в круги — основания цилиндра.

• Боковые рёбра призмы являются образующими цилиндра.

• Ось цилиндра проходит через центры оснований призмы.

Пример: Правильная шестиугольная призма, вписанная в цилиндр. Вершины шестиугольника лежат на окружности.

Свойства:

• Высота призмы = высоте цилиндра.

• Радиус цилиндра $R$ равен радиусу описанной окружности вокруг основания призмы.

Б) Призма, описанная около цилиндра

Определение:
Призма называется описанной около цилиндра, если её основания описаны около оснований цилиндра (т.е. стороны оснований призмы касаются окружностей оснований цилиндра), а боковые грани касаются боковой поверхности цилиндра.

Условия:

• Основания призмы — многоугольники, описанные вокруг круга — основания цилиндра.

• Каждая боковая грань призмы касается цилиндра по образующей.

Пример: Квадратная призма (куб в высоту), описанная вокруг цилиндра. В основание такой призмы можно вписать круг.

Свойства:

• Радиус цилиндра $R$ равен радиусу вписанной окружности в основание призмы.

3. Пирамида и конус

А) Пирамида, вписанная в конус

Определение:
Пирамида называется вписанной в конус, если её основание вписано в основание конуса (вершины многоугольника лежат на окружности основания конуса), а вершина пирамиды совпадает с вершиной конуса.

Условия:

• Основание пирамиды — многоугольник, вписанный в круг — основание конуса.

• Вершина пирамиды — общая с вершиной конуса.

• Боковые рёбра пирамиды лежат на боковой поверхности конуса (являются образующими).

Пример: Правильная четырёхугольная пирамида (как египетская), вписанная в конус.

Свойства:

• Высота пирамиды = высоте конуса.

• Радиус конуса $R$ = радиусу описанной окружности основания пирамиды.

• Образующая конуса $l$ = боковому ребру пирамиды.

Б) Пирамида, описанная около конуса

Определение:
Пирамида называется описанной около конуса, если её основание описано около основания конуса (стороны многоугольника касаются окружности основания конуса), а вершина пирамиды совпадает с вершиной конуса, причём каждая боковая грань касается боковой поверхности конуса.

Условия:

• В основание пирамиды можно вписать окружность — это и есть основание конуса.

• Центр вписанной окружности основания пирамиды совпадает с центром основания конуса.

• Каждая боковая грань касается конуса по образующей.

Пример: Правильная треугольная пирамида (тетраэдр), описанная около конуса.

Свойства:

• Радиус конуса $R$ = радиусу вписанной окружности основания пирамиды.

• Апофема пирамиды (высота боковой грани) связана с образующей конуса.

4. Сфера и многогранники

Сфера — это «идеальная круглая» поверхность. Многогранник может быть вписан в сферу или описан около неё.

А) Сфера, описанная около многогранника

Определение:
Сфера называется описанной около многогранника, если все вершины многогранника лежат на этой сфере.

Центр описанной сферы — точка, равноудалённая от всех вершин многогранника.

Примеры:

• Куб: Центр описанной сферы совпадает с центром куба (пересечение диагоналей). Радиус сферы $R=\frac{a\sqrt{3}}{}$ где $a$ — ребро куба.

• Правильная пирамида: Центр описанной сферы лежит на высоте пирамиды (или её продолжении). Радиус находится из прямоугольного треугольника, соединяющего центр сферы, центр основания и вершину.

Аналогия: Сфера «обнимает» многогранник снаружи, проходя через его углы (вершины).

Б) Сфера, вписанная в многогранник

Определение:
Сфера называется вписанной в многогранник, если она касается всех его граней (каждой грани в одной точке — точке касания).

Центр вписанной сферы — точка, равноудалённая от всех граней многогранника (лежит на пересечении биссекторных плоскостей двугранных углов).

Примеры:

• Куб: Центр вписанной сферы совпадает с центром куба. Радиус сферы $r=\frac{a}{2}$, где $a$ — ребро куба. Сфера касается каждой грани в её центре.

• Правильная пирамида: Вписать сферу можно не в любую пирамиду, а только если суммы противоположных рёбер равны (или существует точка, равноудалённая от всех граней). В правильной пирамиде центр вписанной сферы лежит на высоте. Радиус находят через площадь полной поверхности и объём: $r=\frac{3V}{S_{\text{полн}}}$ (это универсальная формула).

Аналогия: Сфера сидит внутри многогранника, как воздушный шарик в коробке, касаясь каждой стенки.