Текст урока. Урок 7. Понятие объёма. Объём прямоугольного параллелепипеда.

1. Понятие объёма геометрического тела

В планиметрии мы изучали площадь фигуры — величину, характеризующую размер части плоскости, занимаемой фигурой. В стереометрии вводится аналогичное понятие для пространственных тел — объём.

Определение:
Объёмом геометрического тела называется положительная величина, которая характеризует часть пространства, занимаемую этим телом.

Жизненная аналогия: Объём показывает, сколько «места» внутри фигуры. Сколько воды войдёт в аквариум? Сколько песка в ведре? Это и есть объём.

Единицы измерения объёма:

• Основная единица — кубический метр ($1{\text{м}}^3$).

• Производные: кубический сантиметр ($1{\text{см}}^3$), кубический дециметр (литр: $1\text{ л}=1{\text{дм}}^3$), кубический километр и т.д.

За единицу объёма принимают объём куба с ребром, равным единице длины:

• если ребро = 1 см → объём = 1 см³,

• если ребро = 1 м → объём = 1 м³.

2. Основные свойства объёмов (аксиомы)

Как и для площадей, для объёмов выполняются три фундаментальных свойства.

Свойство 1 (положительность)

Объём любого геометрического тела есть число положительное:

$$V>0$$

Свойство 2 (инвариантность — уточнённая формулировка)

Равные тела (т.е. тела, которые можно совместить движением — параллельным переносом, поворотом, отражением) имеют равные объёмы.

Важно: Равные фигуры — это не обязательно одинаковые по форме в зеркальном отображении? Нет, в геометрии равными называют тела, совпадающие при наложении. У них объём одинаков.

Свойство 3 (аддитивность)

Если тело $T$ можно разбить на конечное число частей $T_1,T_2,\dots ,T_n$, которые не имеют общих внутренних точек (могут касаться по границам), то объём всего тела равен сумме объёмов этих частей:

$$V(T)=V(T_1)+V(T_2)+\cdots +V(T_n)$$

Пример: Если разрезать куб на две части плоским разрезом (без наложения), объём целого куба равен сумме объёмов половинок.

3. Объём прямоугольного параллелепипеда

Прямоугольный параллелепипед — это фигура, все грани которой — прямоугольники. Его три измерения: длина $a$ , ширина $b$ , высота $c$ (длины трёх рёбер, выходящих из одной вершины).

Теорема (формула объёма прямоугольного параллелепипеда)

Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений.

$$\boxed{{\displaystyle V=a\cdot b\cdot c}}$$

Идея доказательства (для понимания):

1. Рассмотрим единичный куб (ребро = 1). Его объём = 1 (по определению).

2. Возьмём параллелепипед с измерениями $a,b,c$ — целыми числами. Его можно разбить на $a\cdot b\cdot c$ единичных кубов. По свойству аддитивности $V=a\cdot b\cdot c$.

3. Если измерения — дробные числа, разбиваем на мелкие доли единичного куба и используем предельный переход. Для иррациональных измерений — через приближения. В школьном курсе формула принимается как доказанная.

Следствие 1: объём куба

Если все три измерения равны ($a=b=c$), то параллелепипед является кубом с ребром $a$. Тогда:

$$V_{\text{куба}}=a\cdot a\cdot a=a^3$$

Запомните: $a^3$ читается как «$a$ в кубе», что и дало название степени 3.

Следствие 2: объём прямоугольного параллелепипеда через площадь основания и высоту

Поскольку площадь основания прямоугольного параллелепипеда $S_{\text{осн}}=a\cdot b$, а высота $h=c$, формулу можно записать в едином виде (которая позже распространится на призмы и цилиндры):

$$V=S_{\text{осн}}\cdot h$$