Текст урока. Урок 11. Подобные тела в пространстве. Отношение объёмов и площадей.

1. Понятие подобных тел в пространстве

В планиметрии мы изучали подобные фигуры на плоскости (треугольники, многоугольники, круги). В стереометрии это понятие обобщается на пространственные тела.

Определение:
Два геометрических тела называются подобными, если одно из них можно получить из другого преобразованием подобия (гомотетией) — то есть увеличением или уменьшением всех линейных размеров в одно и то же число раз без изменения формы.

Коэффициент подобия $k$ — это число, показывающее, во сколько раз линейные размеры одного тела больше линейных размеров другого:

$$k=\frac{l_1}{l_2}$$

где $l_1$ и $l_2$ — любые соответственные линейные размеры (длины рёбер, радиусы, высоты, образующие).

Примеры подобных тел:

• Два куба с разными рёбрами (всегда подобны).

• Два шара с разными радиусами (всегда подобны).

• Два конуса с одинаковым отношением высоты к радиусу основания.

• Любые две правильные n-угольные пирамиды (если отношения всех соответственных рёбер равны).

Важное условие: Для подобия тел недостаточно, чтобы были пропорциональны только некоторые размеры. Нужна полная геометрическая подобность — форма должна сохраняться.

2. Отношение площадей поверхностей подобных тел

Теорема

Площади поверхностей подобных тел относятся как квадрат коэффициента подобия:

$$\boxed{{\displaystyle \frac{S_1}{S_2}=k^2}}$$

Доказательство (идея)

Рассмотрим два подобных тела с коэффициентом подобия $k$. Это значит, что все линейные размеры первого тела в $k$ раз больше соответствующих размеров второго тела.

Площадь любой грани (или любой части поверхности) есть произведение двух линейных размеров (например, длины и ширины прямоугольника, или $\pi Rl$ для конуса и т.д.). Если каждый линейный размер умножить на $k$, то произведение двух размеров умножится на $k^2$.

Следовательно, каждая элементарная площадка поверхности увеличится в $k^2$ раз, а значит, и вся площадь поверхности — в $k^2$ раз.

Пример: Если ребро куба увеличить в 2 раза, площадь каждой грани увеличится в $2^2=4$ раза, а площадь всей поверхности — тоже в 4 раза.

3. Отношение объёмов подобных тел

Теорема

Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия:

$$\boxed{{\displaystyle \frac{V_1}{V_2}=k^3}}$$

Доказательство (идея)

Объём тела есть сумма объёмов элементарных частей, каждая из которых «построена» на трёх линейных размерах (длина, ширина, высота для параллелепипеда; $R^{2}h$ для цилиндра и конуса; $R^3$ для шара). Если каждый линейный размер умножить на $k$, то произведение трёх размеров умножается на $k^3$.

Следовательно, объём увеличивается в $k^3$ раз.

Пример: Если радиус шара увеличить в 3 раза, его объём увеличится в $3^3=27$ раз.

4. Примеры подобных тел

А) Подобные многогранники

Два куба с рёбрами $a_1$ и $a_2$ всегда подобны (все грани — квадраты, все углы прямые). Коэффициент подобия $k=a_1\mathrm{/}{a}_2$.

Б) Подобные конусы

Два прямых круговых конуса подобны, если отношение высоты к радиусу основания у них одинаково: $h_1\mathrm{/}{R}_1=h_2\mathrm{/}{R}_2$. Тогда все образующие также пропорциональны.

В) Подобные шары

Любые два шара подобны (форма всегда одинакова — сфера). Коэффициент подобия $k=R_1\mathrm{/}{R}_2$.

Г) Подобные цилиндры

Два цилиндра подобны, если отношение высоты к радиусу одинаково: $h_1\mathrm{/}{R}_1=h_2\mathrm{/}{R}_2$.

5. Практическое применение

Идея подобия широко используется в реальной жизни: