Текст урока. Урок 13. Компланарные векторы. Разложение вектора по трём некомпланарным векторам.

1. Компланарные векторы: определение

На прошлом уроке мы познакомились с коллинеарными векторами — теми, которые лежат на одной прямой или параллельных прямых. Теперь перейдём к более широкому понятию — компланарности.

Определение:
Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или параллельны одной и той же плоскости.

Простыми словами: векторы можно «уложить» в одну плоскость, если параллельно перенести их начала в одну точку.

Примеры:

• Любые два вектора всегда компланарны (через них всегда можно провести плоскость).

• Три вектора могут быть как компланарными, так и некомпланарными.

• Векторы, лежащие на рёбрах куба, выходящих из одной вершины, некомпланарны (они задают три измерения).

Нулевой вектор считается компланарным с любыми векторами.

Визуализация: Представьте угол комнаты (три ребра, сходящиеся в одной точке). Эти три вектора не лежат в одной плоскости — они некомпланарны. А два вектора на полу и один на стене? Пол и стена пересекаются, но все три вектора можно спроецировать в одну плоскость? Нет, если они направлены по трём разным измерениям, то не компланарны.

2. Признак компланарности трёх векторов

Теорема (признак компланарности):
Если один из трёх векторов можно выразить в виде линейной комбинации двух других, то есть

$$\vec{c}=x\vec{a}+y\vec{b}$$

где $x,y$ — действительные числа, то векторы $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ компланарны.

Обратное утверждение также верно:
Если три ненулевых вектора компланарны и $\vec{a}$ и $\vec{b}$ неколлинеарны, то $\vec{c}$ можно единственным образом представить в виде $\vec{c}=x\vec{a}+y\vec{b}$.

Смысл: Некомпланарные векторы — это те, которые нельзя выразить друг через друга. Они образуют «пространственный базис».

3. Правило параллелепипеда (сложение трёх некомпланарных векторов)

Пусть даны три некомпланарных вектора $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$, отложенных из одной точки $O$.

Построим на этих векторах параллелепипед:

1. Откладываем $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ из точки $O$.

2. Строим параллелограмм на $\vec{a}$ и $\vec{b}$ — получаем грань.

3. «Выдавливаем» эту грань в направлении $\vec{c}$ до параллелепипеда.

Правило параллелепипеда:
Вектор, идущий из точки $O$ в противоположную вершину параллелепипеда (пространственная диагональ), равен сумме трёх векторов:

$$\vec{d}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$$

Пример: В прямоугольном параллелепипеде диагональ из одной вершины в противоположную равна сумме трёх рёбер, выходящих из этой вершины.

4. Теорема о разложении вектора по трём некомпланарным векторам

Это центральная теорема урока, аналог теоремы о разложении вектора на плоскости по двум неколлинеарным векторам.

Теорема

Любой вектор $\vec{p}$ в пространстве можно единственным образом представить в виде линейной комбинации трёх некомпланарных векторов $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$:

$$\boxed{{\displaystyle \vec{p}=x\vec{a}+y\vec{b}+z\vec{c}}}$$

где $x,y,z$ — действительные числа (коэффициенты разложения).

Геометрический смысл:
Векторы $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ образуют базис в пространстве. Любой вектор можно «собрать» из этих трёх «кирпичиков» с нужными коэффициентами.

Доказательство (идея)

1. Отложим все векторы от одной точки $O$: $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ (некомпланарны) и $\vec{p}$.

2. Через конец вектора $\vec{p}$ (точку $P$) проведём плоскости, параллельные плоскостям, определяемым парами векторов $\vec{b},\vec{c}$; $\vec{a},\vec{c}$; $\vec{a},\vec{b}$.

3. Построим параллелепипед, в котором $\overrightarrow{OP}$ — диагональ. Рёбра параллелепипеда будут коллинеарны $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$.

4. Значит, $\overrightarrow{OP}=x\vec{a}+y\vec{b}+z\vec{c}$, где $x,y,z$ — числа, равные отношениям длин рёбер к длинам базисных векторов.

5. Единственность следует из некомпланарности: если бы было два разных разложения, их разность дала бы нулевой вектор при ненулевых коэффициентах — противоречие.

5. Применение разложения: решение геометрических задач

Разложение вектора по базису — мощный инструмент для решения задач на доказательство свойств, нахождение отношений отрезков, доказательство параллельности и пересечения прямых.

Типовые задачи:

1. Доказать, что три точки лежат на одной прямой.

2. Найти координаты точки в заданном базисе.

3. Выразить один вектор через другие в многогранниках (куб, тетраэдр, параллелепипед).

4. Доказать, что отрезки пересекаются в одной точке (например, медианы тетраэдра).