Текст урока. Урок 15. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

1. Угол между векторами

Прежде чем ввести скалярное произведение, нужно договориться, что мы понимаем под углом между векторами в пространстве.

Определение:
Пусть два ненулевых вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ отложены от одной точки $O$. Тогда углом между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется наименьший угол, на который нужно повернуть один вектор, чтобы он совпал по направлению с другим.

Обозначение: $\mathrm{\angle }(\vec{a},\vec{b})$ или $\phi$.

Свойства угла:

• $0^{\circ }\le \phi \le {180}^{\circ }$ (в пространстве угол между векторами не может быть больше 180°).

• Если векторы сонаправлены, $\phi =0^{\circ }$.

• Если векторы противоположно направлены, $\phi ={180}^{\circ }$.

• Если векторы перпендикулярны, $\phi ={90}^{\circ }$.

Важно: Если хотя бы один из векторов нулевой, угол между ними не определён (или считают, что нулевой вектор перпендикулярен любому — это вопрос соглашения, но формально $\vec{0}\cdot \vec{a}=0$).

2. Скалярное произведение векторов: геометрическое определение

Определение:
Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению их модулей на косинус угла между ними:

$$\boxed{{\displaystyle \vec{a}\cdot \vec{b}=\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }\cdot \mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid }\cdot \cos \phi }}$$

где $\phi =\mathrm{\angle }(\vec{a},\vec{b})$

Обозначения: $\vec{a}\cdot \vec{b}$ (точка между векторами).

Частные случаи:

• Если $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены ($\phi =0^{\circ }$, $\cos 0=1$): $\vec{a}\cdot \vec{b}=\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }\cdot \mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid }$.

• Если $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены ($\phi ={180}^{\circ }$, $\cos 180=-1$): $\vec{a}\cdot \vec{b}=-\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }\cdot \mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid }$.

• Если $\vec{a}\perp \vec{b}$ ($\phi ={90}^{\circ }$, $\cos 90=0$): $\vec{a}\cdot \vec{b}=0$.

• Скалярный квадрат: $\vec{a}\cdot \vec{a}=\mathrm{\mid }\vec{a}{\mathrm{\mid }}^2$.

Физический смысл: Скалярное произведение появляется в формуле работы силы $A=\vec{F}\cdot \vec{s}$ — работа равна скалярному произведению силы на перемещение.

3. Свойства скалярного произведения

Для любых векторов $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ и любого действительного числа $\lambda$ выполняются свойства:

1. Коммутативность (переместительный закон):

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{b}\cdot \vec{a}$$

2. Дистрибутивность (распределительный закон):

$$\vec{a}\cdot (\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\cdot \vec{b}+\vec{a}\cdot \vec{c}$$

3. Сочетательность (относительно умножения на число):

$$(\lambda \vec{a})\cdot \vec{b}=\lambda (\vec{a}\cdot \vec{b})$$

4. Свойство скалярного квадрата:

$$\vec{a}\cdot \vec{a}\ge 0,\text{причём }\vec{a}\cdot \vec{a}=0\iff \vec{a}=\vec{0}$$

Важно: Эти свойства позволяют работать со скалярным произведением алгебраически, не обращаясь каждый раз к геометрии.

4. Скалярное произведение в координатах

Это самый важный результат для практических вычислений.

Теорема (выражение скалярного произведения в координатах)

Если векторы заданы своими координатами $\vec{a}(x_1;y_1;z_1)$ и $\vec{b}(x_2;y_2;z_2)$, то их скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат:

$$\boxed{{\displaystyle \vec{a}\cdot \vec{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2+z_1{z}_2}}$$

Доказательство (идея)

1. Разложим векторы по базису $\vec{i},\vec{j},\vec{k}$:

$$\vec{a}=x_1\vec{i}+y_1\vec{j}+z_1\vec{k},\vec{b}=x_2\vec{i}+y_2\vec{j}+z_2\vec{k}$$

2. Используем дистрибутивность и свойства ортов:

$$\vec{i}\cdot \vec{i}=\mathrm{\mid }\vec{i}{\mathrm{\mid }}^2=1,\vec{j}\cdot \vec{j}=1,\vec{k}\cdot \vec{k}=1$$
$$\vec{i}\cdot \vec{j}=0,\vec{i}\cdot \vec{k}=0,\vec{j}\cdot \vec{k}=0$$

3. После перемножения все «смешанные» слагаемые обнуляются, остаётся:

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2+z_1{z}_2$$

5. Условие перпендикулярности векторов

Из геометрического определения ($\vec{a}\perp \vec{b}\iff \cos \phi =0$) получаем:

$$\boxed{{\displaystyle \vec{a}\perp \vec{b}⟺\vec{a}\cdot \vec{b}=0}}$$

В координатах:

$$x_1{x}_2+y_1{y}_2+z_1{z}_2=0$$

Пример: Векторы $\vec{a}(2;-1;3)$ и $\vec{b}(1;2;0)$ перпендикулярны, так как $2\cdot 1+(-1)\cdot 2+3\cdot 0=2-2=0$.

6. Вычисление угла между векторами

Из определения скалярного произведения выражаем косинус угла:

$$\boxed{{\displaystyle \cos \phi =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }\cdot \mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid }}}}$$

В координатной форме:

$$\cos \phi =\frac{x_1{x}_2+y_1{y}_2+z_1{z}_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}\cdot \sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}}$$

Алгоритм нахождения угла:

1. Вычислить скалярное произведение векторов.

2. Вычислить длины (модули) векторов.

3. Подставить в формулу и найти $\cos \phi$.

4. По значению косинуса определить угол $\phi$ ($\phi =\arccos (\cos \phi )$).