Текст. Урок 5. Числовые наборы. Среднее арифметическое

1. Организационный момент. Хаос чисел vs Одно число

Вопрос классу: Учитель объявляет оценки за контрольную: 5, 4, 3, 5, 2, 4, 5, 3, 4, 5. Что вы чувствуете? В голове каша из чисел. А теперь представьте, что учитель говорит: «Средняя оценка класса — 4 балла». Сразу стало ясно: класс написал неплохо, чуть выше четвёрки.

Одна маленькая цифра заменила целый список! Эта магическая цифра называется средним арифметическим.

Сегодня мы узнаем, что такое числовой набор, научимся находить его «центр» — среднее арифметическое — и поймём, почему это одна из главных идей статистики.

2. Понятие числового набора (ряда данных)

Числовой набор (или ряд данных) — это просто коллекция чисел, полученных в результате наблюдений, измерений или опросов.

Главное свойство: порядок чисел в наборе не важен (в отличие от упорядоченного ряда). Важно, какие числа есть и сколько их.

Примеры числовых наборов из реальной жизни:

1. Оценки ученика за четверть по математике: 4, 5, 4, 4, 5, 3, 5.

2. Рост (в см) пятерых друзей: 152, 168, 155, 170, 160.

3. Температура воздуха в полдень на неделе: +18, +19, +17, +16, +15, +14, +12 (градусов).

4. Количество шагов, которое вы прошли за день (по шагомеру): 8500, 7200, 9100, 7800.

Любой такой набор чисел можно «сжать» до одной характеристики — среднего арифметического.

3. Формулировка определения среднего арифметического

Среднее арифметическое числового набора — это число, равное сумме всех чисел набора, делённой на их количество.

Простыми словами: «Все сложить и разделить на то, сколько их».

Происхождение названия

• Арифметическое — потому что используется действие сложения (а не умножения, как в среднем геометрическом).

• Среднее — потому что это «середина», типичное значение.

4. Формула среднего арифметического

Обозначим:

• $x_1,x_2,x_3,\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.},x_n$ — числа в наборе (где $n$ — количество чисел).

• $\bar{x}$ (читается: «икс с чертой») — среднее арифметическое.

$$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+x_3+\cdots +x_n}{n}$$

Или коротко:

$$\text{Среднее}=\frac{\text{Сумма всех чисел}}{\text{Количество чисел}}$$

Блок-схема для запоминания (в уме):

1. Сосчитать, сколько чисел (например, 5 чисел).

2. Сложить их все.

3. Разделить полученную сумму на количество.

5. Практические примеры вычисления (от простого к сложному)

Пример 1. Средняя оценка

Задача: Ученик получил оценки: 4, 5, 3, 4, 5. Найдите среднюю оценку.

Решение:

1. Количество чисел: $n=5$.

2. Сумма: $4+5+3+4+5=21$.

3. Среднее: $\bar{x}=21\mathrm{/}5=4,2$ балла.

Ответ: 4,2.

Интерпретация: Успеваемость ученика чуть выше четвёрки. «Типичная» его оценка — между 4 и 5, ближе к 4.

Пример 2. Средняя температура за неделю

Задача: В понедельник +12°, вторник +14°, среду +13°, четверг +10°, пятницу +11°, субботу +9°, воскресенье +8°. Найдите среднюю температуру.

Решение:

1. Количество дней: $n=7$.

2. Сумма: $12+14+13+10+11+9+8=77$ градусов.

3. Среднее: $77\mathrm{/}7=11$ градусов.

Ответ: 11°C.

Интерпретация: Несмотря на морозное воскресенье (8°) и тёплый вторник (14°), типичная температура недели — прохладные 11°.

Пример 3. Средний возраст (наглядный, с повторяющимися числами)

Задача: В семье: папа (38 лет), мама (36 лет), сын (12 лет), дочь (10 лет). Найдите средний возраст членов семьи.

Решение:

1. Количество: $n=4$.

2. Сумма: $38+36+12+10=96$ лет.

3. Среднее: $96\mathrm{/}4=24$ года.

Ответ: 24 года.

Интерпретация (важно!): Средний возраст — 24 года. Но в семье никому нет 24 лет! Это условное, «среднее» значение. Оно показывает центр: дети и родители уравновешивают друг друга.

6. Смысл среднего арифметического. Мера центральной тенденции

Статистики называют среднее арифметическое мерой центральной тенденции. Что это значит?

Представьте числовой набор как точки на числовой прямой. Их можно расположить от самого маленького до самого большого. Среднее арифметическое — это точка равновесия. Если сделать из линейки рычаг, а числа — грузиками, то среднее арифметическое — это место, где рычаг будет в равновесии.

«Типичное значение»

В быту мы говорим о «среднем человеке», «средней зарплате», «средней оценке». Это не значит, что такой человек существует. Это значит:

Среднее арифметическое заменяет весь набор чисел одним числом, которое описывает их всех «в среднем».

Осторожно! (Важное предупреждение)

Среднее арифметическое может обманывать, если в наборе есть очень большие или очень маленькие числа (выбросы).

Пример: В комнате 5 человек. У четырёх зарплата 30 000 руб., а у одного — 1 000 000 руб.
Средняя зарплата: $(30000+30000+30000+30000+1000000)\mathrm{/}5=1120000\mathrm{/}5=224000$ руб.
Получилось 224 тысячи, но 4 из 5 человек получают всего 30 тысяч! Среднее «уехало» вверх из-за одного богатого. В таких случаях говорят не о среднем, а о медиане (но это тема следующего урока).