Текст. Урок 12. Гистограммы. Практическая работа «Случайная изменчивость»

1. Определение гистограммы как графического представления группированных данных

Мы уже знаем, что для удобства анализа большие наборы данных можно группировать в интервалы. Но таблицу частот воспринимать не всегда легко. Нагляднее представить данные графически.

Гистограмма — это графическое представление группированных данных в виде смежных прямоугольников (столбиков).

• По горизонтальной оси откладываются интервалы (группы).

• По вертикальной оси — частоты (или относительные частоты).

• Высота каждого прямоугольника равна частоте соответствующего интервала.

Важно: в гистограмме столбики примыкают друг к другу (нет зазоров), потому что интервалы идут подряд без пропусков.

2. Отличие гистограммы от столбчатой диаграммы

Часто ученики путают гистограмму и столбчатую диаграмму. Запомним разницу:

Пример отличия:

• Столбчатая диаграмма: количество учеников, получивших 2, 3, 4, 5 (категории — оценки).

• Гистограмма: распределение роста (интервалы 140–144, 145–149 см и т.д.).

3. Построение гистограммы по сгруппированным данным

Алгоритм построения гистограммы:

1. Сгруппировать данные (найти размах, выбрать количество интервалов $k$, вычислить шаг $h$).

2. Составить таблицу частот для интервалов.

3. Нарисовать оси: горизонтальная — интервалы, вертикальная — частоты.

4. Построить прямоугольники: ширина = шагу интервала, высота = частоте.

5. Подписать оси и название.

Пример 1.
Даны результаты прыжков в длину с места (см) для 20 учеников:
180, 185, 190, 175, 182, 188, 192, 178, 184, 189, 177, 183, 191, 176, 187, 181, 186, 179, 193, 184.

Шаг 1. Группировка:
$\min =175$, $\max =193$, размах = 18.
Возьмём $k=4$ группы → шаг $h=18\mathrm{/}4=4,5\approx 5$ (округляем для удобства).
Интервалы: 175–179, 180–184, 185–189, 190–194.

Шаг 2. Таблица частот:

Шаг 3. Строим гистограмму (описание):

• Ось X: интервалы длины 5 (от 175 до 194). Отметки: 175, 180, 185, 190.

• Ось Y: частота от 0 до 8.

• Прямоугольник 175–179 высотой 5, 180–184 высотой 7, 185–189 высотой 5, 190–194 высотой 3.

• Столбики соприкасаются.

4. Чтение гистограммы: оценка распределения, модальный интервал

Гистограмма позволяет быстро увидеть форму распределения данных.

Что можно оценить по гистограмме:

• Где сосредоточены данные (высокие столбцы).

• Симметрично или нет (если правый «хвост» длиннее — асимметрия вправо).

• Есть ли выбросы (одинокий столбик вдали от основной группы).

• Модальный интервал — интервал с наибольшей частотой (самый высокий столбик).

Пример 2. Анализ гистограммы из примера 1:
Модальный интервал — 180–184 см (частота 7).
Данные слегка смещены влево (больше низких результатов, чем высоких). Выбросов нет.

Пример 3. Чтение гистограммы (рисунок описан словами):
Представьте гистограмму оценок за экзамен (интервалы: 0–19, 20–39, 40–59, 60–79, 80–100).
Самый высокий столбик — 60–79. Значит, большинство получили «хорошо» и «удовлетворительно». Столбик 80–100 низкий — пятёрок мало. Гистограмма показывает «горб» в средней части.

5. Практическая работа «Случайная изменчивость»

Тема практической работы: изучение случайной изменчивости на реальных данных с помощью группировки и гистограммы.

Этапы работы (выполняется в классе или дома, на 20–25 минут):

Шаг 1. Сбор данных (пример — учитель раздаёт данные или ученики измеряют сами)
Вариант А (самый простой): раздать каждому ученику по 20 см полоски бумаги и попросить, не используя линейку, разорвать её на две части «на глаз». Измерить длину каждой половинки с точностью до 0,5 см. Собрать все измерения в общий список (40 значений).

Вариант Б (готовые данные): результаты измерения длины ручки (мм) 30 учениками:
154, 152, 155, 153, 151, 156, 152, 154, 153, 155, 150, 154, 152, 156, 153, 151, 155, 154, 152, 153, 150, 155, 154, 152, 153, 151, 156, 154, 152, 155.

Шаг 2. Группировка данных
Найти $\min$, $\max$, размах, выбрать $k$ (4–6 групп), вычислить шаг.
Составить таблицу частот.

Шаг 3. Построение гистограммы
Начертить гистограмму (на миллиметровке или в тетради в клетку, соблюдая масштаб).

Шаг 4. Анализ
Ответить на вопросы:

1. Какой интервал оказался модальным?

2. Есть ли выбросы (интервалы с очень малой частотой вдали от основной группы)?

3. Симметрично ли распределение?

4. Почему даже при одинаковых условиях (все рвут бумагу «на глаз») результаты различаются?

5. Что показывает эта гистограмма о случайной изменчивости?

Шаг 5. Вывод
Записать вывод: измеряемая величина подвержена случайной изменчивости из-за множества факторов (разное зрение, координация, мышечный контроль, погрешность измерения). Гистограмма позволяет наглядно увидеть эту изменчивость и оценить типичный разброс.

6. Пример оформления практической работы (краткий)

Тема: «Случайная изменчивость на примере измерения длины на глаз»

Данные (длина в см):
5.5, 6.0, 5.0, 6.5, 5.5, 5.0, 6.0, 5.5, 7.0, 5.0,
5.5, 6.0, 5.0, 6.5, 5.5, 5.0, 6.0, 5.5, 5.5, 5.0
(всего 20 значений)

Группировка:
$\min =5,0$, $\max =7,0$, размах=2,0
Выберем $k=4$ → шаг = 0,5
Интервалы: 5,0–5,4; 5,5–5,9; 6,0–6,4; 6,5–6,9; 7,0–7,4 (последний для 7,0)

Таблица частот:

Гистограмма (словесное описание):
Столбики без зазоров. Самый высокий — 5,5–5,9 см (частота 7).
Спад вправо (6,5–6,9 и 7,0–7,4 — мало). Это говорит о том, что люди чаще недомеряют, чем перемеряют.

Вывод: гистограмма наглядно показала изменчивость — даже при простом задании люди выдают разный результат. Модальный интервал (5,5–5,9) не совпадает с истинной серединой (6,25), что указывает на систематическую ошибку в сторону уменьшения.