Текст. Урок 15. Случайный опыт и случайное событие. Вероятность и частота события

1. Понятие случайного опыта (эксперимента)

В жизни мы часто сталкиваемся с ситуациями, результат которых нельзя предсказать точно заранее. Например:

• подбрасывание монеты (орёл или решка?);

• бросание игральной кости (сколько выпадет очков?);

• извлечение карты из колоды (какая масть?).

Такие действия называют случайными опытами (или экспериментами).

Определение:
Случайный опыт — это действие, которое может быть повторено много раз при одинаковых условиях, но результат каждого повторения заранее неизвестен.

Примеры:

• бросание монеты;

• бросание кубика;

• вытягивание билета на экзамене;

• измерение роста случайного прохожего.

2. Определение случайного события

В результате опыта могут происходить разные исходы. Некоторые из них нас особенно интересуют.

Определение:
Случайное событие — это исход (или набор исходов) опыта, который может произойти или не произойти.

Пример 1. Бросаем монету.
Событие A = «выпал орёл».
Оно может произойти (орёл) или не произойти (решка).

Пример 2. Бросаем игральную кость (кубик).
Событие B = «выпало число очков, кратное 3».
Благоприятные исходы: 3 и 6.
Событие может произойти (3 или 6) или не произойти (1,2,4,5).

3. Достоверные и невозможные события

Не все события одинаковы. Некоторые происходят всегда, некоторые — никогда.

Достоверное событие — событие, которое обязательно произойдёт в данном опыте.
Невозможное событие — событие, которое не может произойти никогда.

Пример 3. Бросаем кубик.
Событие «выпало число от 1 до 6» — достоверное (всегда верно).
Событие «выпало 7 очков» — невозможное.

Пример 4. Извлекаем карту из колоды (36 карт).
Событие «вытащили красную масть» — возможно, но не достоверно.
Событие «вытащили туза» — возможно.
Событие «вытащили карту с номером 10» — возможно.
Событие «вытащили карту с номером 15» — невозможно.

4. Частота события как эмпирическая характеристика

Предположим, мы провели опыт много раз и хотим понять, как часто происходит интересующее нас событие.

Определение:
Частота (относительная частота) события A в серии из N опытов равна:

$$\text{Частота}(A)=\frac{\text{число опытов, в которых A произошло}}{N}$$

Частота — это экспериментальная величина. Она зависит от того, как повезло в конкретной серии опытов.

Пример 5. Монету бросили 100 раз. Орёл выпал 54 раза.
Частота выпадения орла = $54\mathrm{/}100=0,54$.

Если бросить ещё 100 раз, частота может стать другой (например, 0,48).
При очень большом числе опытов частота обычно приближается к некоторому числу — вероятности.

5. Понятие вероятности как теоретической меры

Вероятность — это теоретическая характеристика события, которая показывает, насколько оно возможно в идеальной модели.

Для опытов, у которых все исходы равновозможны (симметричны), вероятность вычисляется по формуле:

$$P(A)=\frac{m}{n}$$

где:

• $m$ — количество благоприятных для события A исходов;

• $n$ — общее количество всех возможных исходов опыта.

Свойства вероятности:

1. $0\le P(A)\le 1$.

2. $P(\text{достоверное событие})=1$.

3. $P(\text{невозможное событие})=0$.

6. Классическое определение вероятности (примеры)

Пример 6. Бросание монеты

Все возможные исходы: {орёл, решка} → $n=2$.
Событие A = «выпал орёл» → $m=1$.

$$P(A)=\frac{1}{2}=0,5$$

Пример 7. Бросание игральной кости (кубика)

Все исходы: 1, 2, 3, 4, 5, 6 → $n=6$.
Событие B = «выпало чётное число» → благоприятные: 2, 4, 6 → $m=3$.

$$P(B)=\frac{3}{6}=0,5$$

Событие C = «выпало число больше 4» → благоприятные: 5, 6 → $m=2$.

$$P(C)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\approx 0,333$$

Пример 8. Извлечение карты из колоды (36 карт, все равновозможны)

Общее число исходов $n=36$.
Событие D = «вытащили туза».
В колоде 4 туза → $m=4$.

$$P(D)=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}\approx 0,111$$

Событие E = «вытащили карту червовой масти».
В колоде 9 червей (в 36-карточной колоде)? Проверим: обычно в 36 картах 4 масти по 9 карт → червей 9.

$$P(E)=\frac{9}{36}=\frac{1}{4}=0,25$$

7. Сравнение частоты и вероятности

Пример 9. Вероятность выпадения орла = 0,5.
Если бросить монету 10 раз, частота может быть 0,3 или 0,7.
Если бросить 1000 раз, частота будет близка к 0,5 (например, 0,497).

Это свойство называется законом больших чисел (изучается подробнее в старших классах).

8. Пример задачи (письменное закрепление)

Задача 1. В коробке лежат 5 красных, 3 синих и 2 зелёных карандаша. Наугад вынимают один карандаш.
Найдите вероятность событий:
A = «вынули красный карандаш»;
B = «вынули не зелёный»;
C = «вынули жёлтый».

Решение:
Всего карандашей $n=5+3+2=10$.
A: красных $m=5$ → $P(A)=5\mathrm{/}10=0,5$.
B: не зелёный = красный или синий → $m=5+3=8$ → $P(B)=8\mathrm{/}10=0,8$.
C: жёлтых нет → $m=0$ → $P(C)=0$ (невозможное событие).

Задача 2. Бросают два игральных кубика (каждый от 1 до 6).
Событие D = «сумма выпавших очков равна 7». Найдите вероятность.

Решение:
Общее количество исходов $n=6\times 6=36$ (упорядоченные пары).
Благоприятные пары, дающие сумму 7:
(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) → $m=6$.

$$P(D)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\approx 0,1667$$

9. Итоги урока (что нужно запомнить):

1. Случайный опыт — повторяемое действие с непредсказуемым заранее исходом.

2. Случайное событие — исход (или набор исходов), который может произойти или нет.

3. Достоверное событие (вероятность 1), невозможное (вероятность 0).

4. Частота = (число опытов с событием) / (всего опытов) — экспериментальная величина.

5. Классическая вероятность $P=\frac{m}{n}$ для равновозможных исходов.

6. При большом числе опытов частота приближается к вероятности.