Текст урока. Урок 3. Понятие множества. Подмножество. Способы задания множеств.

1. Введение: зачем статистику множества?

В прошлых уроках мы считали исходы (орёл/решка, числа на кубиках). По сути, мы работали с наборами объектов. В статистике и вероятности нам постоянно нужно говорить о группах: «выборка учеников», «множество благоприятных исходов», «интервал температур».

Чтобы наши рассуждения были точными, математики придумали специальный язык — теорию множеств. Сегодня мы выучим его алфавит.

2. Основные понятия: множество и элемент

Множество — это совокупность (набор) объектов, объединённых по какому-либо признаку, воспринимаемая как единое целое.

Объекты, из которых состоит множество, называются элементами.

Обозначения:

• Множества обычно обозначают заглавными латинскими буквами: A, B, C, X, Y...

• Элементы пишут внутри фигурных скобок { }.

Примеры множеств:

• A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} — множество цифр.

• B = {орёл, решка} — множество исходов броска монеты.

• C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} — множество граней игральной кости.

• D = {зима, весна, лето, осень} — множество времён года.

Принадлежность элементу:
Для связи элемента и множества используют специальные знаки:

• ∈ — «принадлежит» (является элементом).

• ∉ — «не принадлежит» (не является элементом).

Примеры:

• 5 ∈ A (пять является цифрой).

• 7 ∉ C (семёрки нет на стандартной игральной кости).

• решка ∈ B (решка есть среди исходов).

3. Пустое и универсальное множества

В математике есть два особых множества, которые встречаются в каждой задаче.

Пустое множество — это множество, которое не содержит ни одного элемента. Обозначается: ∅ (или { }).

Пример: множество семиклассников вашей школы, которые имеют рост 3 метра. Ясно, что таких нет, значит, это множество пустое.

Вероятность пустого множества всегда равна 0 (невозможное событие).

Универсальное множество (в рамках данной задачи) — это множество всех объектов, которые могут нас интересовать в этой конкретной ситуации. Обычно обозначается U или Ω (омега — в теории вероятностей).

Пример: если мы бросаем кубик, то универсальное множество Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Если мы изучаем погоду за неделю — это все 7 дней.

4. Подмножество (главное понятие урока!)

Теперь самое важное для статистики: связь между множествами.

Множество A называется подмножеством множества B, если каждый элемент A является также элементом B.

Обозначения:

• A ⊆ B — A является подмножеством B (или равно ему, нестрогое включение).

• A ⊂ B — A является собственным подмножеством B (строгое включение, то есть A не равно B, а меньше).

Запомните визуально: если B — это большой ящик, то A — это коробка внутри него.

Примеры из реальной жизни:

• Множество отличников вашего класса ⊆ множество всех учеников класса.

• Множество чётных чисел на кости {2, 4, 6} ⊂ {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Важнейший числовой ряд (классика для 8 класса):

В математике есть знаменитая цепочка вложенных множеств:

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ

Расшифруем:

• ℕ (натуральные числа) = {1, 2, 3, 4, ...} — числа для счёта.

• ℤ (целые числа) = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...} — добавили ноль и отрицательные.

• ℚ (рациональные числа) — все числа, которые можно записать в виде дроби m/n (например, 0,5 = 1/2; –3 = –3/1).

• ℝ (действительные числа) — все числа, включая иррациональные (√2, π).

Смысл: каждое натуральное число является целым, каждое целое — рациональным, каждое рациональное — действительным. Поэтому мы пишем знак ⊂ (строгое подмножество).

5. Способы задания множеств

В статистике нам нужно уметь чётко описывать множество, чтобы другие поняли, какие элементы в него входят. Есть два основных способа.

Способ 1. Перечисление элементов (списочный)

Мы просто выписываем все элементы в фигурных скобках через запятую.

Когда использовать: когда элементов мало или они легко обозримы.

Примеры:

• A = {2, 4, 6, 8} — множество однозначных чётных чисел.

• B = {Иванов, Петров, Сидоров} — список фамилий.

Недостаток: нельзя задать огромное множество (например, все числа от 1 до 1000 перечислять слишком долго).

Способ 2. Характеристическое свойство (описательный)

Мы указываем правило, по которому можно проверить, принадлежит ли элемент множеству.

Запись: { x | условие, которому удовлетворяет x } (читается: «множество всех x таких, что ...»).

Примеры:

• A = { x | x ∈ ℕ и x > 5 } — множество натуральных чисел, больших пяти. То есть {6, 7, 8, 9, ...}.

• B = { x | x — это марка автомобиля, производимая в России } — перечислить все марки мы не можем, но критерий понятен.

• C = { x | –3 ≤ x ≤ 5, x ∈ ℝ } — все действительные числа на отрезке от –3 до 5 (бесконечное множество).

Связь с вероятностью: в задачах мы часто пишем:

• Событие A = { выпало чётное число } = { 2, 4, 6 } — это перечисление.

• Событие B = { x | x > 4 } при броске кубика = {5, 6}.

6. Графическое представление (круги Эйлера)

Чтобы наглядно показать множества и их пересечения, используют круги Эйлера (или диаграммы Венна).

Пример для нашего класса:

• Большой прямоугольник — Универсум U (все ученики школы).

• Круг A — ученики 8-го класса.

• Круг B — ученики, которые занимаются в секции баскетбола.

• Тогда A ∩ B (пересечение) — это восьмиклассники, которые ходят на баскетбол.

• Если все баскетболисты — только восьмиклассники, то B ⊂ A (подмножество).

(Рисунок учитель делает на доске, мы в тексте описываем словами).

7. Практические задания (закрепление)

Задание 1 (устно). Дано множество A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Запишите с помощью фигурных скобок:
а) Подмножество чётных чисел;
б) Подмножество чисел, больших 3;
в) Пустое подмножество.

Задание 2 (письменно). Задайте двумя способами (перечислением и характеристическим свойством):
а) Множество букв в слове «СТАТИСТИКА»;
б) Множество месяцев, в которых 31 день.

Задание 3 (на отношение). Даны множества:
X = {2, 4, 6, 8}, Y = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.
Верно ли, что X ⊂ Y? Верно ли, что Y ⊂ X? Почему?

Задание 4 (жизненный пример). Опишите множество «любимых школьных предметов» вашего класса способом характеристического свойства (например, «предметы, по которым у меня оценка выше 4»). Перечислите конкретный список для себя.

8. Связь с темой вероятности (забегаем вперёд)

Сегодня мы научились записывать события языком множеств.

• Всё множество исходов Ω — это универсальное множество.

• Любое случайное событие A — это подмножество Ω (A ⊆ Ω).

• Невозможное событие — это пустое множество ∅.

Таким образом, теория вероятностей — это, по сути, подсчёт долей подмножеств внутри универсального множества. На следующем уроке мы будем учиться объединять и пересекать эти множества (сложение и умножение вероятностей).

9. Итог урока

Мы освоили новый математический язык:

1. Множество — это набор элементов { }.

2. Элемент либо принадлежит (∈), либо нет (∉).

3. Пустое множество ∅ — событие с нулевой вероятностью.

4. Подмножество ⊆ / ⊂ — это «коробка внутри коробки» (знаменитая цепочка ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ).

5. Множество можно задать списком или правилом (характеристическим свойством).

Домашнее задание:

1. Придумайте три множества A, B и C, такие что A ⊂ B ⊂ C (цепочка вложений из реальной жизни, не числовая).

2. Задайте множество всех чётных двузначных чисел двумя способами.

3. На повторение: Сколько всего подмножеств у множества {1, 2, 3}? (Подсказка: посчитайте вместе с пустым и полным).