Текст урока. Урок 4. Операции над множествами: пересечение и объединение.

1. Введение: зачем складывать и умножать множества?

На прошлом уроке мы научились описывать отдельные множества (события). Но в жизни редко бывает что-то одно. Чаще нас интересуют сложные условия:

• «И» — например, ученик, который и отличник, и занимается спортом.

• «ИЛИ» — например, номер автобуса, который идёт или до вокзала, или до парка.

В математике этим двум союзам соответствуют строгие операции над множествами: пересечение (союз «И») и объединение (союз «ИЛИ»).

2. Пересечение множеств (A ∩ B) — логическое «И»

Пересечением множеств A и B (обозначается A ∩ B) называется множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат одновременно и множеству A, и множеству B.

Ключевое слово: «И» (одновременно).

Пример 1 (числовой):

• A = {2, 4, 6, 8, 10} (чётные числа до 10)

• B = {3, 6, 9, 12} (числа, кратные 3, до 12)

• A ∩ B = {6} (только число 6 одновременно чётное и кратное 3).

Пример 2 (жизненный):

• A = {ученики 8-го класса}

• B = {ученики, которые носят очки}

• A ∩ B = {восьмиклассники в очках} (те, кто попадает сразу в оба списка).

3. Объединение множеств (A ∪ B) — логическое «ИЛИ»

Объединением множеств A и B (обозначается A ∪ B) называется множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A или B (или обоим сразу).

Ключевое слово: «ИЛИ» (хотя бы один).

Пример 1 (числовой):

• A = {2, 4, 6, 8, 10}

• B = {3, 6, 9, 12}

• A ∪ B = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12} (все числа из обоих списков, но без повторений — 6 пишем один раз).

Пример 2 (жизненный):

• A = {ученики, которые любят математику}

• B = {ученики, которые любят физику}

• A ∪ B = {ученики, которые любят хотя бы один из этих предметов (математику ИЛИ физику)}.

4. Иллюстрация: Диаграммы Эйлера–Венна (круги)

Самое наглядное представление операций — это круги на плоскости. Весь прямоугольник — это универсальное множество (все возможные элементы).

Пересечение (A ∩ B) — это общая часть двух кругов (область, где они накладываются друг на друга).

Объединение (A ∪ B) — это вся площадь, занятая хотя бы одним из кругов (левый + правый + их пересечение).

Важный частный случай:

Если у множеств нет общих элементов, их пересечение — пустое множество: A ∩ B = ∅.
Такие множества называют непересекающимися (или несовместными — в теории вероятностей это ключевое понятие).

Пример: A = {1, 3, 5} и B = {2, 4, 6}. A ∩ B = ∅. В кругах Эйлера эти круги не соприкасаются.

5. Операции над числовыми промежутками (важно для статистики)

В статистике часто приходится работать с интервалами чисел (рост, вес, температура). Здесь операции над множествами выглядят как отрезки на числовой прямой.

Пример на пересечение:

A = [3; 7] (все числа от 3 до 7 включительно).
B = [5; 9] (все числа от 5 до 9 включительно).
A ∩ B = [5; 7] — общая часть, где промежутки перекрываются.

Пример на объединение:

A = [3; 7], B = [5; 9].
A ∪ B = [3; 9] — непрерывный отрезок от 3 до 9 (дырки нет, так как промежутки слиплись).

Другой случай (с разрывом):
A = [1; 3], B = [5; 7] (между ними промежуток от 3 до 5).
A ∪ B = [1; 3] ∪ [5; 7] (записываем как два отрезка, объединённых знаком ∪).

6. Решение задач с пересечением и объединением

Задача 1 (школьная статистика)

В 8 «А» классе 25 учеников. Из них 10 человек занимаются в спортивной секции (множество S), а 8 человек — в музыкальной школе (множество M). Известно, что 3 ученика занимаются и там, и там (S ∩ M).

Вопросы:
а) Сколько учеников занимаются только спортом?
Решение: S без пересечения = 10 – 3 = 7 человек.

б) Сколько учеников занимаются хотя бы чем-то одним (S ∪ M)?
Решение: 10 + 8 – 3 = 15 (мы сложили оба множества, но двойников (3 человека) посчитали дважды, поэтому один раз вычитаем).

в) Сколько учеников не занимаются ничем?
Решение: 25 – 15 = 10 человек.

Задача 2 (на числовые промежутки)

Даны множества: A = { x | 2 < x ≤ 6 } (от 2 до 6, двойка не включена).
B = { x | 5 ≤ x < 9 } (от 5 до 9, девятка не включена).
Найдите: A ∩ B и A ∪ B.

Решение:

• A ∩ B: пересекаются числа от 5 до 6. Так как в A шестёрка включена, а в B пятёрка включена, получаем: { x | 5 ≤ x ≤ 6 } (оба конца включены, так как каждое число лежит в своём промежутке).

• A ∪ B: объединяем промежутки, они перекрываются, поэтому получаем сплошной промежуток: { x | 2 < x < 9 } (2 не включена, 9 не включена, так как изначально они были исключены).

Задача 3 (из реальной жизни — список покупок)

Пусть A — множество продуктов, которые купила мама: {хлеб, молоко, яйца}.
B — множество продуктов, которые купил папа: {молоко, сыр, колбаса}.

Найти:

• A ∩ B = {молоко} (это продукты, которые купили оба — дома будет двойное количество молока).

• A ∪ B = {хлеб, молоко, яйца, сыр, колбаса} (все продукты, которые есть теперь дома).

7. Связь с вероятностями (забегаем вперёд)

Сегодня мы работали с множествами элементов. Но в теории вероятностей множества — это события. И тогда:

• Пересечение (A ∩ B) — это событие, которое наступает, когда происходит и A, и B (одновременно).

• Объединение (A ∪ B) — это событие, которое наступает, когда происходит A или B (или оба).

На следующем уроке мы научимся вычислять вероятности таких сложных событий, используя формулы сложения и умножения вероятностей. Главное правило, которое мы уже подсмотрели в задаче про спорт и музыку:
|A ∪ B| = |A| + |B| – |A ∩ B| (чтобы не посчитать пересечение дважды).

8. Итог урока

1. Пересечение (∩) — это «И» (общая часть).

2. Объединение (∪) — это «ИЛИ» (всё вместе без повторов).

3. На диаграммах Эйлера пересечение — это наложение кругов, объединение — вся площадь кругов.

4. Для числовых промежутков пересечение — это перекрытие отрезков, объединение — их склейка.

5. Формула для подсчёта количества элементов в объединении: |A ∪ B| = |A| + |B| – |A ∩ B|.

Домашнее задание:

1. Даны множества A = {2, 4, 6, 8} и B = {1, 2, 3, 4}. Найдите A ∩ B, A ∪ B. Сделайте диаграмму Эйлера.

2. Даны числовые промежутки: A = (–5; 0] и B = [–2; 3). Найдите пересечение и объединение.

3. Творческое задание: придумайте три множества из жизни вашего класса (например, «носит очки», «занимается программированием», «любит читать»). Запишите для них пересечение и объединение для двух любых из них.