Текст урока. Урок 11. Правило умножения. Дерево случайного эксперимента.

1. Организационный момент и постановка проблемы

Вспомните: когда мы бросали две монеты, мы выписывали исходы вручную: {ОО, ОР, РО, РР}. Это было несложно. А что, если эксперимент сложнее? Например:

Задача: Мы бросаем монету (орёл или решка), а затем бросаем игральную кость (1, 2, 3, 4, 5, 6). Сколько всего различных пар результатов может получиться?

Перечислять все 12 вариантов вручную долго и легко ошибиться. Нужно общее правило.

2. Комбинаторное правило умножения

Представьте, что вы собираетесь надеть костюм. У вас есть:

• 3 разные рубашки,

• 2 разных брюк.

Сколько разных комплектов «рубашка + брюки» можно составить?

Логика: К каждой из 3 рубашек можно подобрать 2 брюк. Значит, всего комплектов: 3×2=6.

Это и есть суть правила умножения.

Комбинаторное правило умножения: Если некоторый выбор можно сделать m способами, а второй выбор (независимо от первого) — n способами, то общее количество различных пар (первый и второй выбор) равно:

$\mathbf{N}=\mathbf{m}\cdot \mathbf{n}$

Если шагов три (выбор A, выбор B, выбор C) и количество способов соответственно m,n,k, то общее число исходов:

$N=m\cdot n\cdot k$

Пример 1 (простой)

Сколько существует двузначных чисел, у которых первая цифра нечётная, а вторая — чётная?

• Первая цифра (нечётная): 1, 3, 5, 7, 9 → 5 способов.

• Вторая цифра (чётная): 0, 2, 4, 6, 8 → 5 способов.

• Общее количество: 5×5=25 чисел.

Пример 2 (возвращаемся к задаче с монетой и костью)

• ыбор №1: монета (орёл или решка) → m=2.

• Выбор №2: кость (1, 2, 3, 4, 5, 6) → n=6.

• Общее число исходов: N=2×6=12.

3. Дерево случайного эксперимента

Правило умножения даёт нам количество исходов. Но чтобы увидеть какие именно это исходы и посчитать вероятности, удобно строить дерево случайного эксперимента.

Дерево случайного эксперимента — это графическое изображение последовательного выполнения шагов опыта. Корень — начало эксперимента, рёбра — возможные результаты каждого шага, а листья — конечные исходы.

Строим дерево для задачи «Монета + Кость»:

1. Корень — начало.

2. Шаг 1 (монета): рисуем 2 ветки: «О» и «Р».

3. Шаг 2 (кость): от каждой ветки рисуем по 6 веток: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

                        [Начало]
                       /         \
                     О             Р
                   /|\           /|\
                  1 2 3 4 5 6   1 2 3 4 5 6

На дереве получилось 2×6=12 листьев (конечных исходов):
(О,1), (О,2), ..., (О,6), (Р,1), ..., (Р,6).

4. Использование дерева для подсчёта вероятностей

Теперь главное: каждый лист дерева соответствует одному элементарному исходу, и если монета и кость честные, то все 12 исходов равновозможны.

Задача 1. Найдите вероятность того, что при бросании монеты и кубика выпадет комбинация (Орёл, 5).

• Общее число исходов (по дереву): n=12.

• Благоприятный исход (нужный лист): всего 1.

• Вероятность: 

  $P=\frac{1}{12}$

  .

Задача 2. Найдите вероятность того, что выпадет орёл и чётное число на кубике.

• Благоприятные исходы (смотрим на дерево): (О,2), (О,4), (О,6) → всего 3.

• P=123​=41​=0,25.

Задача 3. Найдите вероятность того, что выпадет решка и число больше 4.

• Благоприятные исходы: (Р,5) и (Р,6) → всего 2.

• P=122​=61​≈0,17.

5. Пример: выбор маршрута (жизненная задача)

Условие: Из города А в город Б ведут 3 дороги. Из города Б в город В ведут 4 дороги. Сколькими способами можно добраться из А в В через Б? Какова вероятность, что случайно выбранный маршрут будет проходить через конкретную дорогу Б–В (например, через вторую)?

Решение:

• Шаг 1 (А → Б): m=3.

• Шаг 2 (Б → В): n=4.

• Всего маршрутов: N=3×4=12 (это дерево будет иметь 3 первые ветки и по 4 от каждой).

Вероятность выбрать конкретную вторую дорогу из Б в В:

• Благоприятные исходы: (дорога 1–Б, Б–В2), (дорога 2–Б, Б–В2), (дорога 3–Б, Б–В2) → 3 исхода.

• $P=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}=0,25$

  P=123​=41​=0,25.

6. Правило умножения для трёх шагов

Условие: У Маши есть 2 платья, 3 пары обуви и 4 шарфика. Сколько разных образов (платье + обувь + шарфик) можно составить?

Решение: 

N=2×3×4=24.

Вероятность случайно выбрать конкретный образ (например, красное платье, белые туфли и синий шарфик) = 1/24.

7. Итог урока (рефлексия)

Сегодня мы:

1. Освоили комбинаторное правило умножения: если шагов несколько, общее количество исходов равно произведению количеств вариантов на каждом шаге.

2. Научились строить дерево случайного эксперимента — наглядную картинку, которая показывает все исходы.

3. Использовали дерево для подсчёта вероятностей: вероятность = (число листьев, благоприятных событию) / (общее число листьев).

Главный вывод: Дерево — это не просто рисунок, это калькулятор вероятностей. Оно гарантирует, что мы ничего не потеряем и не посчитаем дважды.

Домашнее задание:

1. В кафе можно заказать салат (3 вида), основное блюдо (5 видов) и напиток (4 вида). Сколько различных комплексов обеда существует?

2. Постройте дерево для бросания трёх монет (О или Р). Сколько всего исходов? Какова вероятность выпадения ровно двух орлов? (Вспомните урок про монеты и проверьте себя).

3. Задача: При бросании двух игральных костей (мы это изучали) общее число исходов 36. Используя правило умножения, объясните, почему их 36 (выбор первой кости — 6, выбор второй — 6).