Текст урока. Урок 14. Формула сложения вероятностей для несовместных событий.

Сайт:	sdavalka.ru \| тренажёр, уроки, видео для подготовки к школьным экзаменам
Курс:	Вероятность и статистика, полный курс для 8 класса
Книга:	Текст урока. Урок 14. Формула сложения вероятностей для несовместных событий.

Напечатано::	Гость
Дата:	четверг, 13 августа 2026, 23:29

Описание

Цель урока: доказать и научиться применять формулу сложения вероятностей для несовместных событий; показать, что сумма вероятностей всех элементарных исходов равна 1.

1. Организационный момент и постановка цели
2. Теорема сложения для двух несовместных событий
3. Доказательство (для случая равновозможных исходов)
4. Обобщение на несколько событий
5. Важнейшее следствие: сумма вероятностей всех исходов равна 1
6. Решение задач на сложение вероятностей
7. Итог урока (рефлексия)

1. Организационный момент и постановка цели

На прошлом уроке мы выяснили, что несовместные события — это те, которые не могут произойти одновременно ( $A \cap B = \emptyset$ ).

Сегодня мы ответим на главный вопрос: «Если у нас есть два несовместных события, как найти вероятность того, что наступит хотя бы одно из них?» Ответ даёт формула сложения вероятностей.

2. Теорема сложения для двух несовместных событий

Представьте себе коробку с шарами: 3 красных, 2 синих и 5 зелёных. Мы вынимаем один шар наугад.

Событие A = {вынули красный шар}. Вероятность $P (A) = 3/10$ .
Событие B = {вынули синий шар}. Вероятность $P (B) = 2/10$ .
Событие A ∪ B = {вынули красный ИЛИ синий шар}. Сколько таких шаров? 3 + 2 = 5. Вероятность $P (A \cup B) = 5/10 = 0, 5$ .

Заметим, что $3/10 + 2/10 = 5/10$ . Мы просто сложили вероятности!

Теорема сложения для несовместных событий:
Если события A и B несовместны ( $A \cap B = \emptyset$ ), то вероятность их объединения равна сумме их вероятностей:
$P (A \cup B) = P (A) + P (B)$

3. Доказательство (для случая равновозможных исходов)

Пусть в некотором опыте все исходы равновозможны, и общее число исходов равно n.
Пусть событию A благоприятствует

m_{A}

исходов, а событию B —

m_{B}

исходов.
Так как события несовместны, у них нет общих исходов (множества не пересекаются).

Тогда числу благоприятных исходов для события $A \cup B$ (наступит A ИЛИ B) равно

m_{A} + m_{B}

По классической формуле вероятности:

P (A \cup B) = \frac{m_{A} + m_{B}}{n} = \frac{m_{A}}{n} + \frac{m_{B}}{n} = P (A) + P (B)

Что и требовалось доказать.

4. Обобщение на несколько событий

Формула сложения работает не только для двух, но и для любого количества попарно несовместных событий (когда никакие два из них не могут произойти одновременно).

Если события
$A_{1}, A_{2}, . . ., A_{k}$
попарно несовместны, то:
$P (A_{1} \cup A_{2} \cup . . . \cup A_{k}) = P (A_{1}) + P (A_{2}) + . . . + P (A_{k})$

5. Важнейшее следствие: сумма вероятностей всех исходов равна 1

Вспомним, что пространство элементарных исходов

Ω

Ω — это все возможные результаты опыта. Все элементарные исходы попарно несовместны (выпадает только одно число на кости, только одна сторона монеты).

Так как событие Ω является достоверным (обязательно произойдёт), его вероятность равна 1.

Сумма вероятностей всех элементарных исходов случайного опыта равна 1:
$P (ω_{1}) + P (ω_{2}) + . . . + P (ω_{n}) = 1$

Пример: При бросании кости: $1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1$ .

Из этого свойства вытекает формула для противоположного события (

P (\overset{ˉ}{A}) = 1 - P (A)

, которую мы уже изучали.

6. Решение задач на сложение вероятностей

Задача 1 (базовая, на сложение двух событий)

В лотерее 100 билетов. Выигрышных билетов: 10 билетов по 100 рублей, 5 билетов по 500 рублей и 2 билета по 1000 рублей. Остальные билеты — без выигрыша. Найдите вероятность того, что случайно купленный билет окажется выигрышным (любой суммы).

Решение:
События «выиграть 100 руб.», «выиграть 500 руб.» и «выиграть 1000 руб.» — несовместны.

$P (100) = 10/100 = 0, 1$ .
$P (500) = 5/100 = 0, 05$ .
$P (1000) = 2/100 = 0, 02$ .
$P (любой выигрыш) = 0, 1 + 0, 05 + 0, 02 = 0, 17$ .

Ответ: 0,17.

Задача 2 (с костью)

Бросают игральную кость. Найдите вероятность того, что выпадет число, меньшее 3, или число, большее 4.

Решение:

A = {1, 2} → $P (A) = 2/6 = 1/3$ .
B = {5, 6} → $P (B) = 2/6 = 1/3$ .
События A и B несовместны (нет общих чисел).
$P (A \cup B) = 1/3 + 1/3 = 2/3$ .

Задача 3 (с монетой)

Бросают три монеты. Найдите вероятность того, что выпадет ровно две решки или ровно три решки.

Решение:
Всего исходов $n = 8$ (дерево вариантов).

Событие A = {ровно 2 решки}: исходы {РРО, РОР, ОРР} → $m A = 3$ , $P (A) = 3/8$ .
Событие B = {ровно 3 решки}: исход {РРР} → $m B = 1$ , $P (B) = 1/8$ .
A и B несовместны (не может быть одновременно ровно 2 и ровно 3 решки).
$P (A \cup B) = 3/8 + 1/8 = 4/8 = 1/2$ .

Задача 4 (проверка суммы вероятностей)

В коробке лежат карандаши: 3 красных, 5 синих, 2 зелёных. Какова вероятность вытащить синий или зелёный карандаш? Убедитесь, что сумма вероятностей всех цветов равна 1.

Решение:
Всего 10 карандашей.

$P (красный) = 3/10$ .
$P (синий) = 5/10$ .
$P (зелёный) = 2/10$ .
Сумма: $3/10 + 5/10 + 2/10 = 1$ — достоверное событие (карандаш обязательно какого-то цвета).
$P (синий \cup зелёный) = 5/10 + 2/10 = 7/10 = 0, 7$ .

7. Итог урока (рефлексия)

Сегодня мы вывели и применили главную формулу для несовместных событий:

$P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ .
Для нескольких событий: вероятности складываются.
Сумма вероятностей всех элементарных исходов всегда равна 1 — это универсальная проверка правильности.

Главное предостережение: Формула сложения работает ТОЛЬКО ДЛЯ НЕСОВМЕСТНЫХ СОБЫТИЙ. Если события совместны (пересекаются), складывать вероятности нельзя — нужно вычитать пересечение. Этому мы научимся на следующем уроке.

Домашнее задание:

В коробке 12 конфет: 5 шоколадных, 4 карамельных, 3 фруктовых. Найдите вероятность наугад взять шоколадную или фруктовую конфету.
Из колоды в 36 карт вынимают одну карту. Найдите вероятность того, что это будет туз ИЛИ король (считаем, что событие "туз" и событие "король" несовместны).
Задача на смекалку: Вероятность того, что стрелок попадёт в десятку, равна 0,3; в девятку — 0,4; в восьмёрку — 0,2. Найдите вероятность, что он выбьет не менее 9 очков (т.е. 9 или 10).