Текст урока. Урок 15. Условная вероятность. Правило умножения вероятностей.

1. Организационный момент и постановка проблемы

До сих пор мы рассматривали события, которые не влияли друг на друга (например, выпадение орла при первом броске монеты не влияет на выпадение решки при втором). Но в реальной жизни события часто зависимы.

Классический пример: Из мешка с шарами вынимают два шара подряд, без возвращения. Вероятность того, что второй шар окажется красным, зависит от того, какой шар вынули первым. Если первым вынули красный шар, то красных в мешке стало меньше, и вероятность изменилась.

Чтобы работать с такими задачами, нам нужно ввести новое понятие — условную вероятность.

2. Понятие условной вероятности P(B∣A)

Условная вероятность события B при условии, что событие A уже наступило (обозначается P(B∣A)) — это вероятность события B, вычисленная в новой ситуации, когда пространство исходов сузилось до множества A.

Читается как: «вероятность B при условии A».

Пример с шарами (наглядно)

В урне 5 шаров: 3 красных (К) и 2 синих (С). Вынимаем два шара без возвращения.

Пусть событие 

A = {первый шар — красный}.
Пусть событие 

B = {второй шар — красный}.

• Если первый шар был красным (A наступило), то в урне осталось: 2 красных и 2 синих (всего 4 шара).

• Тогда вероятность вынуть вторым красный при условии, что первым был красный, равна:

Сравните с безусловной вероятностью вынуть красный первым: 

 Вероятность изменилась! События зависимы.

3. Формула условной вероятности

Общая формула, которая связывает условную вероятность с пересечением событий, выглядит так:

$P(B\mathrm{\mid }A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}\text{(при условии, что }P(A)>0)$

Логика: Мы берём долю исходов, где наступили оба события (A∩B), среди всех исходов, где наступило A.

4. Правило умножения вероятностей (общий вид)

Из формулы условной вероятности легко получить правило умножения:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mathrm{\mid }A)$

Смысл: Вероятность того, что произойдут и A, и B (одновременно или последовательно), равна вероятности A, умноженной на вероятность B при условии, что A уже произошло.

Это правило работает для любых событий — как зависимых, так и независимых. Если события независимы, то 

, и формула превращается в знакомое 

5. Последовательное извлечение без возвращения (главный пример)

Условие: В коробке 10 деталей, 3 из них бракованные. Наугад вынимают две детали без возвращения (одну за другой). Найдите вероятность того, что:
а) обе детали окажутся бракованными;
б) первая деталь бракованная, а вторая — стандартная.

Решение (а) — обе бракованные

• Событие A = {первая деталь бракованная}.

  $P(A)=3\mathrm{/}10$

  (3 бракованных из 10).

• Событие B = {вторая деталь бракованная}.

• Если первая была бракованной (A наступило), то осталось 9 деталей, из которых бракованных — 2.
  Условная вероятность: 

  $P(B\mathrm{\mid }A)=2\mathrm{/}9$

• По правилу умножения:

Решение (б) — первая брак, вторая стандартная

• $P(A)=3\mathrm{/}10$

• Если первая бракованная, то осталось 9 деталей: 2 бракованных и 7 стандартных.
  Вероятность вынуть стандартную второй: 

  $P(B\mathrm{\mid }A)=7\mathrm{/}9$

• По правилу умножения:

6. Сравнение: с возвращением и без

Если бы мы вынимали детали с возвращением (то есть каждый раз возвращали вынутую деталь обратно), то вероятности на каждом шаге не менялись бы, и:

• $P(\text{обе бракованные})=(3\mathrm{/}10)\cdot (3\mathrm{/}10)=9\mathrm{/}100=0,09$
• $P(\text{первая брак, вторая стандарт})=(3\mathrm{/}10)\cdot (7\mathrm{/}10)=21\mathrm{/}100=0,21$

Мы видим, что без возвращения вероятности чуть меньше (0,0667 < 0,09 и 0,2333 < 0,21), потому что каждый раз «хорошие» условия ухудшаются.

7. Дерево для условных вероятностей

Очень удобно изображать последовательные опыты с помощью дерева, подписывая на рёбрах условные вероятности.

Для задачи с деталями (без возвращения):

                [Начало]
               /        \
             Б (3/10)   С (7/10)
            /    \        /    \
         Б(2/9) С(7/9) Б(3/9) С(6/9)

Вероятность конечного исхода получается перемножением вероятностей вдоль ветки.

8. Итог урока (рефлексия)

Сегодня мы сделали важный шаг от независимых событий к зависимым:

1. Условная вероятность P(B∣A) — это вероятность B в новых условиях, когда A уже случилось.

2. Формула: P(B∣A)=P(A∩B)/P(A).

3. Правило умножения (общий вид): P(A∩B)=P(A)⋅P(B∣A).

4. При извлечении без возвращения вероятности на каждом шаге меняются — нужно использовать условные вероятности.

Главное правило: Читаем задачу, определяем, есть ли слово «подряд», «без возвращения», «последовательно». Если есть — скорее всего, нужна условная вероятность.

Домашнее задание:

1. В корзине 6 яблок и 4 груши. Из корзины вынимают два фрукта без возвращения. Найдите вероятность того, что оба вынутых фрукта — яблоки.

2. В группе 20 студентов: 12 юношей, 8 девушек. Выбирают трёх студентов (без возвращения) — сначала юношу, затем девушку, затем ещё одного юношу. Найдите вероятность такого исхода.

3. (Задача на размышление). В чём разница между P(B∣A) и P(A∣B)? Придумайте пример, где они различны (подсказка: это разные условия).