Текст учебника. Урок 9. Сумма первых n членов арифметической прогрессии. | Вывод формулы суммы через первый и последний члены

В начало Календарь Классы Предметы Онлайн-школа Каналы и группы Контакты Регистрация

Класс: 9
Предмет: алгебра
Тема урока: Сумма первых n членов арифметической прогрессии
Тип урока: урок изучения нового материала
Цель урока: вывести формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии и научить применять их при решении задач.
Планируемые результаты:

Знать две формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии
Понимать вывод этих формул (метод Гаусса)
Уметь применять формулы для вычисления сумм и решения практических задач

3. Вывод формулы суммы через первый и последний члены

3.1. Идея метода

Рассмотрим арифметическую прогрессию: $a_{1}, a_{2}, a_{3}, . . ., a_{n}$ .

Запишем сумму первых $n$ членов двумя способами: в прямом и обратном порядке.

Прямой порядок:
$S_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + . . . + a_{n - 1} + a_{n}$

Обратный порядок:
$S_{n} = a_{n} + a_{n - 1} + a_{n - 2} + . . . + a_{2} + a_{1}$

3.2. Сложение

Сложим эти два равенства почленно:

$2 S_{n} = (a_{1} + a_{n}) + (a_{2} + a_{n - 1}) + (a_{3} + a_{n - 2}) + . . . + (a_{n} + a_{1})$

Ключевое наблюдение: В арифметической прогрессии сумма любого члена и симметричного ему относительно центра равна $a_{1} + a_{n}$ .

Докажем это:

$a_{2} + a_{n - 1} = (a_{1} + d) + (a_{n} - d) = a_{1} + a_{n}$
$a_{3} + a_{n - 2} = (a_{1} + 2 d) + (a_{n} - 2 d) = a_{1} + a_{n}$

Таким образом, каждая из $n$ пар даёт одну и ту же сумму $a_{1} + a_{n}$ .

3.3. Получение формулы

Имеем $n$ одинаковых сумм:
$2 S_{n} = n \cdot (a_{1} + a_{n})$

Отсюда получаем первую формулу:

$S_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} \cdot n$

Или в другом виде:

$S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n}) n}{2}$

Словесная формулировка: Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии равна произведению полусуммы первого и последнего членов на количество членов.