Текст учебника. Урок 9. Сумма первых n членов арифметической прогрессии.

4.1. Замена последнего члена

В первой формуле используется $a_n$. Но часто мы знаем не последний член, а разность прогрессии $d$. Вспомним формулу n-го члена:
$a_n=a_1+(n-1)d$

Подставим это выражение в первую формулу:

$$S_n=\frac{a_1+[a_1+(n-1)d]}{2}\cdot n$$

4.2. Упрощение

Раскрываем скобки в числителе:
$S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n$

Получаем вторую формулу:

$$S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n$$

Или:

$$S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n$$

4.3. Доказательство равенства формул

Мы только что показали, что вторая формула получена из первой подстановкой $a_n=a_1+(n-1)d$. Следовательно, они тождественно равны и дают один и тот же результат.

Можно также проверить для конкретного примера.