Текст учебника. Урок 9. Сумма первых n членов арифметической прогрессии.

5.1. Когда какую формулу использовать?

5.2. Пример 2: Нахождение суммы по первому и последнему членам

Дана арифметическая прогрессия: 5, 9, 13, 17, 21, 25. Найти сумму всех членов.

Решение:

• $a_1=5$

• $a_6=25$ (последний, так как всего 6 членов)

• $n=6$

По первой формуле:
$S_6=\frac{5+25}{2}\cdot 6=\frac{30}{2}\cdot 6=15\cdot 6=90$

Проверка сложением: $5+9+13+17+21+25=90$ ✓

Ответ: 90

5.3. Пример 3: Нахождение суммы по первому члену и разности

Найти сумму первых 20 членов арифметической прогрессии, если $a_1=7$, $d=3$.

Решение:
По второй формуле:
$S_{20}=\frac{2\cdot 7+3(20-1)}{2}\cdot 20=\frac{14+3\cdot 19}{2}\cdot 20=\frac{14+57}{2}\cdot 20=\frac{71}{2}\cdot 20=71\cdot 10=710$

Ответ: 710

5.4. Пример 4: Нахождение суммы натуральных чисел от 1 до n

Найти сумму первых 100 натуральных чисел.

Решение:
Это арифметическая прогрессия: $1,2,3,\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.},100$

• $a_1=1$

• $a_n=100$

• $n=100$

По первой формуле:
$S_{100}=\frac{1+100}{2}\cdot 100=\frac{101}{2}\cdot 100=101\cdot 50=5050$

Ответ: 5050 (как у Гаусса)

5.5. Пример 5: Нахождение суммы нечётных чисел

Найти сумму первых 50 нечётных чисел: 1, 3, 5, 7, ...

Решение:
Это арифметическая прогрессия с $a_1=1$, $d=2$

• $n=50$

• $a_{50}=1+49\cdot 2=99$

По первой формуле:
$S_{50}=\frac{1+99}{2}\cdot 50=\frac{100}{2}\cdot 50=50\cdot 50=2500$

Ответ: 2500