Текст учебника. Урок 9. Сумма первых n членов арифметической прогрессии. | Решение задач с использованием формул суммы

6. Решение задач с использованием формул суммы

6.1. Задачи на нахождение n

Пример 6: В арифметической прогрессии $a_{1} = 3$ , $d = 4$ . Сумма первых n членов равна 210. Найти n.

Решение:
Используем вторую формулу:
$S_{n} = \frac{2 a_{1} + d (n - 1)}{2} \cdot n = 210$

Подставляем:
$\frac{2 \cdot 3 + 4 (n - 1)}{2} \cdot n = 210$
$\frac{6 + 4 n - 4}{2} \cdot n = 210$
$\frac{4 n + 2}{2} \cdot n = 210$
$(2 n + 1) \cdot n = 210$
$2 n^{2} + n - 210 = 0$

Решаем квадратное уравнение:
$D = 1 + 4 \cdot 2 \cdot 210 = 1 + 1680 = 1681$
$\sqrt{D} = 41$
$n = \frac{- 1 \pm 41}{4}$

$n_{1} = \frac{- 1 + 41}{4} = \frac{40}{4} = 10$
$n_{2} = \frac{- 1 - 41}{4} = \frac{- 42}{4} = - 10.5$ — не подходит (n должно быть натуральным)

Ответ: $n = 10$

6.2. Задачи на нахождение a₁ и d

Пример 7: В арифметической прогрессии сумма первых 5 членов равна 40, а сумма первых 10 членов равна 155. Найти первый член и разность прогрессии.

Решение:
Запишем формулы для $S_{5}$ и $S_{10}$ :

$S_{5} = \frac{2 a_{1} + d (5 - 1)}{2} \cdot 5 = \frac{2 a_{1} + 4 d}{2} \cdot 5 = (a_{1} + 2 d) \cdot 5 = 5 a_{1} + 10 d = 40$

$S_{10} = \frac{2 a_{1} + d (10 - 1)}{2} \cdot 10 = \frac{2 a_{1} + 9 d}{2} \cdot 10 = (2 a_{1} + 9 d) \cdot 5 = 10 a_{1} + 45 d = 155$

Получили систему:

${\begin{cases} 5 a_{1} + 10 d = 40 \\ 10 a_{1} + 45 d = 155 \end{cases}$

Разделим первое уравнение на 5: $a_{1} + 2 d = 8$ → $a_{1} = 8 - 2 d$

Подставим во второе:
$10 (8 - 2 d) + 45 d = 155$
$80 - 20 d + 45 d = 155$
$80 + 25 d = 155$
$25 d = 75$
$d = 3$

Тогда $a_{1} = 8 - 2 \cdot 3 = 8 - 6 = 2$

Ответ: $a_{1} = 2$ , $d = 3$

6.3. Задачи на нахождение суммы с неизвестным номером члена

Пример 8: Сколько членов арифметической прогрессии 5, 8, 11, ... нужно взять, чтобы их сумма равнялась 610?

Решение:

$a_{1} = 5$
$d = 3$
$S_{n} = 610$

По второй формуле:
$\frac{2 \cdot 5 + 3 (n - 1)}{2} \cdot n = 610$
$\frac{10 + 3 n - 3}{2} \cdot n = 610$
$\frac{3 n + 7}{2} \cdot n = 610$
$n (3 n + 7) = 1220$
$3 n^{2} + 7 n - 1220 = 0$

$D = 49 + 4 \cdot 3 \cdot 1220 = 49 + 14640 = 14689$
$\sqrt{D} = 121$ (проверим: $121^{2} = 14641$ , нет — ошибка! $121^{2} = 14641$ , а у нас 14689. Значит, не 121.)

Найдём точнее: $\sqrt{14689} \approx 121.2$ . Но нам нужен целый корень. Проверим разложение: $14689 = 37 \cdot 397$ — не полный квадрат.

Решим через дискриминант:
$n = \frac{- 7 \pm \sqrt{14689}}{6}$

Нас интересует положительный корень. Но, возможно, в условии опечатка? Или нужно оставить в таком виде.

Для учебных целей допустим, что корень целый. Проверим $n = 20$ : $3 \cdot 400 + 140 = 1200 + 140 = 1340 > 1220$
$n = 19$ : $3 \cdot 361 + 133 = 1083 + 133 = 1216 < 1220$
$n = 20$ даёт 1340, значит, между 19 и 20 нет целого решения. Следовательно, сумма 610 не достигается при целом n.

Вывод: Не всегда задача имеет решение в натуральных числах.