Текст учебника. Урок 9. Сумма первых n членов арифметической прогрессии.

7.1. Задача о строительстве

Пример 9: При хранении брёвен строевого леса их укладывают так, что каждый верхний ряд содержит на одно бревно меньше, чем предыдущий. В нижнем ряду находится 20 брёвен, а в верхнем — 5. Сколько брёвен уложено?

Решение:
Количество брёвен в рядах образует арифметическую прогрессию:

• $a_1=5$ (верхний ряд, если считать сверху, или $a_1=20$, если считать снизу — договоримся считать снизу)
  Удобнее: нижний ряд — первый, тогда $a_1=20$, $d=-1$, последний ряд $a_n=5$

Найдём n:
$a_n=a_1+(n-1)d$
$5=20+(n-1)(-1)$
$5=20-n+1$
$5=21-n$
$n=16$

Теперь сумма:
$S_{16}=\frac{a_1+a_{16}}{2}\cdot 16=\frac{20+5}{2}\cdot 16=\frac{25}{2}\cdot 16=25\cdot 8=200$

Ответ: 200 брёвен

7.2. Задача о часах

Пример 10: Часы с боем отбивают каждый час столько ударов, сколько часов показывают (от 1 до 12). Сколько ударов они отбивают за сутки?

Решение:
За 12 часов: $1+2+3+\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}+12$ — арифметическая прогрессия.
$S_{12}=\frac{1+12}{2}\cdot 12=\frac{13}{2}\cdot 12=13\cdot 6=78$ ударов за 12 часов.

За сутки (24 часа) цикл повторяется дважды:
$S=2\cdot 78=156$ ударов.

Ответ: 156 ударов

7.3. Задача о спортсмене

Пример 11: Спортсмен в первый день пробежал 5 км, а в каждый следующий день увеличивал норму на 0,5 км. Сколько километров он пробежит за 30 дней?

Решение:
Арифметическая прогрессия: $a_1=5$, $d=0,5$, $n=30$
$S_{30}=\frac{2\cdot 5+0,5(30-1)}{2}\cdot 30=\frac{10+0,5\cdot 29}{2}\cdot 30=\frac{10+14,5}{2}\cdot 30=\frac{24,5}{2}\cdot 30=12,25\cdot 30=367,5$

Ответ: 367,5 км