Текст учебника. Урок 9. Сумма первых n членов арифметической прогрессии. | Доказательство равенства формул (строгое)

В начало Календарь Классы Предметы Онлайн-школа Каналы и группы Контакты Регистрация

Класс: 9
Предмет: алгебра
Тема урока: Сумма первых n членов арифметической прогрессии
Тип урока: урок изучения нового материала
Цель урока: вывести формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии и научить применять их при решении задач.
Планируемые результаты:

Знать две формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии
Понимать вывод этих формул (метод Гаусса)
Уметь применять формулы для вычисления сумм и решения практических задач

8. Доказательство равенства формул (строгое)

Ранее мы показали, что вторая формула получается из первой подстановкой. Теперь докажем, что обе формулы эквивалентны.

Дано: $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$

Требуется доказать: $\frac{a_{1} + a_{n}}{2} \cdot n = \frac{2 a_{1} + d (n - 1)}{2} \cdot n$

Доказательство:
Левая часть: $\frac{a_{1} + a_{n}}{2} \cdot n = \frac{a_{1} + [a_{1} + (n - 1) d]}{2} \cdot n = \frac{2 a_{1} + (n - 1) d}{2} \cdot n$

Правая часть: $\frac{2 a_{1} + d (n - 1)}{2} \cdot n$ — то же самое.

Таким образом, левая и правая части тождественно равны.