Текст учебника. Урок 11. Сумма первых n членов геометрической прогрессии.

3.1. Идея метода

Рассмотрим геометрическую прогрессию: $b_1,b_2,b_3,\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.},b_n$, где $b_n=b_1\cdot q^{n-1}$.

Обозначим сумму первых $n$ членов:

$$S_n=b_1+b_2+b_3+\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}+b_{n-1}+b_n$$

Запишем эту сумму в развёрнутом виде через первый член и знаменатель:

$$S_n=b_1+b_{1}q+b_1{q}^2+\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}+b_1{q}^{n-2}+b_1{q}^{n-1}$$

3.2. Умножение на q

Умножим обе части этого равенства на знаменатель $q$:

$$q{S}_n=b_{1}q+b_1{q}^2+b_1{q}^3+\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}+b_1{q}^{n-1}+b_1{q}^n$$

3.3. Вычитание

Вычтем из второго равенства первое:

$$q{S}_n-S_n=(b_{1}q+b_1{q}^2+\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}+b_1{q}^n)-(b_1+b_{1}q+\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}+b_1{q}^{n-1})$$

В правой части почти все слагаемые взаимно уничтожаются. Остаются:

• из первой скобки: $b_1{q}^n$

• из второй скобки: $-b_1$

Таким образом:

$$(q-1)S_n=b_1{q}^n-b_1=b_1(q^n-1)$$

3.4. Получение формулы

Если $q\mathrm{\ne }1$, то можно разделить обе части на $(q-1)$:

$$S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}$$

Это первая форма записи формулы суммы.

3.5. Альтернативная форма

Умножив числитель и знаменатель на -1, можно получить другую, иногда более удобную форму:

$$S_n=\frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$$

Обе формулы равносильны. Выбор зависит от того, какое выражение удобнее: если $q>1$, удобнее первая, если $0<q<1$ — вторая.