Текст учебника. Урок 11. Сумма первых n членов геометрической прогрессии.

4.1. Особый случай

Если $q=1$, то прогрессия имеет вид:
$b_1,b_1,b_1,b_1,\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}$ — все члены равны первому.

В этом случае формула, выведенная выше, неприменима, так как знаменатель $(q-1)$ обращается в ноль.

4.2. Формула для q = 1

Очевидно, что сумма первых $n$ членов такой прогрессии равна:

$$S_n=b_1+b_1+b_1+\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}+b_1=n\cdot b_1$$

4.3. Объединение случаев

Таким образом, общая формула записывается в виде:

$$S_n=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{b_1(q^n-1)}{q-1}},& \text{если }q\mathrm{\ne }1\\ n\cdot b_1,& \text{если }q=1\end{array}$$