Текст учебника. Урок 11. Сумма первых n членов геометрической прогрессии.

5.1. Пример 2: Нахождение суммы (q > 1)

Найти сумму первых 6 членов геометрической прогрессии: 3, 6, 12, 24, ...

Решение:

• $b_1=3$

• $q=6:3=2$

• $n=6$

• $q\mathrm{\ne }1$, применяем формулу:

$S_6=\frac{3(2^6-1)}{2-1}=\frac{3(64-1)}{1}=3\cdot 63=189$

Проверка сложением: $3+6+12+24+48+96=189$ ✓

Ответ: 189

5.2. Пример 3: Нахождение суммы (0 < q < 1)

Найти сумму первых 5 членов геометрической прогрессии: 16, 8, 4, 2, 1, ...

Решение:

• $b_1=16$

• $q=8:16=\frac{1}{2}$

• $n=5$

• Удобнее использовать формулу $S_n=\frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$:

$S_5=\frac{16(1-(\frac{1}{2}{)}^5)}{1-\frac{1}{2}}=\frac{16(1-\frac{1}{32})}{\frac{1}{2}}=\frac{16\cdot \frac{31}{32}}{\frac{1}{2}}=\frac{16\cdot 31}{32}\cdot 2=\frac{496}{32}=15.5$

Проверка: $16+8+4+2+1=31$? Ой! Ошибка: 16 + 8 = 24, +4 = 28, +2 = 30, +1 = 31. А у нас получилось 15.5 — явно неверно. Где ошибка?

Проверим вычисления:
$16(1-\frac{1}{32})=16\cdot \frac{31}{32}=\frac{496}{32}=15.5$
Делим на $\frac{1}{2}$ — это умножение на 2: $15.5\cdot 2=31$

Да, 31 — правильный ответ. Я ошибся в промежуточном результате, написав 15.5 вместо 31.

Ответ: 31

5.3. Пример 4: Нахождение суммы (q < 0, знакочередующаяся)

Найти сумму первых 5 членов геометрической прогрессии: 2, -6, 18, -54, 162, ...

Решение:

• $b_1=2$

• $q=-3$

• $n=5$

• Применяем формулу:

$S_5=\frac{2((-3{)}^5-1)}{-3-1}=\frac{2(-243-1)}{-4}=\frac{2\cdot (-244)}{-4}=\frac{-488}{-4}=122$

Проверка: $2+(-6)+18+(-54)+162=(2-6)=-4,-4+18=14,14-54=-40,-40+162=122$ ✓

Ответ: 122

5.4. Пример 5: Случай q = 1

Найти сумму первых 10 членов геометрической прогрессии: 7, 7, 7, 7, ...

Решение:
$q=1$, значит $S_{10}=10\cdot 7=70$

Ответ: 70