Текст учебника. Урок 11. Сумма первых n членов геометрической прогрессии.

7.1. Легенда о шахматной доске

Пример 9: По легенде, изобретатель шахмат попросил в награду за своё изобретение столько зёрен пшеницы, сколько получится, если на первую клетку шахматной доски положить 1 зерно, на вторую — 2, на третью — 4, и так далее, удваивая количество на каждой следующей клетке. Сколько зёрен должно было быть на доске?

Решение:
Имеем геометрическую прогрессию: $b_1=1$, $q=2$, $n=64$ (количество клеток).

$S_{64}=\frac{1(2^{64}-1)}{2-1}=2^{64}-1$

$2^{64}=(2^{10}{)}^6\cdot 2^4\approx (1024{)}^6\cdot 16\approx 1.15\cdot {10}^{19}$ (точное значение: 18446744073709551615)

Это огромное число — около 18,5 квинтиллионов зёрен.

Ответ: $2^{64}-1$ зёрен

7.2. Задача о вкладе в банке

Пример 10: Вкладчик положил в банк 10000 рублей под 10% годовых. Какая сумма будет на счёте через 5 лет, если проценты начисляются в конце каждого года и прибавляются к вкладу?

Решение:
Каждый год сумма умножается на $1+0.1=1.1$.
Это геометрическая прогрессия с $b_1=10000$, $q=1.1$, $n=5$.
Нас интересует не сумма, а последний член? Нет, здесь нужно найти не сумму, а конечную сумму — это $b_5$.
Но если бы спрашивали общую сумму всех выплат? Уточним условие.

Обычно в таких задачах спрашивают итоговую сумму на счёте, то есть $b_5=10000\cdot {1.1}^4$? Нет, через год будет $b_2$, через 5 лет — $b_6$, если считать $b_1$ начальным вкладом.

Пусть $b_1=10000$ — начальный вклад.
Через 1 год: $b_2=10000\cdot 1.1$
Через 2 года: $b_3=10000\cdot {1.1}^2$
...
Через 5 лет: $b_6=10000\cdot {1.1}^5$

${1.1}^5=1.61051$
$b_6\approx 10000\cdot 1.61051=16105.1$ рублей

Ответ: ≈ 16105 рублей

7.3. Задача о популяции

Пример 11: Численность популяции бактерий каждый час увеличивается в 3 раза. Сколько бактерий будет через 6 часов, если первоначально было 100 бактерий?

Решение:
Геометрическая прогрессия: $b_1=100$, $q=3$
Через 6 часов — это $b_7=100\cdot 3^6=100\cdot 729=72900$

Ответ: 72900 бактерий