Текст учебника. Урок 11. Сумма первых n членов геометрической прогрессии.

8.1. Пример 12: Известны Sₙ и Sₘ

Сумма первых 3 членов геометрической прогрессии равна 26, а сумма первых 5 членов равна 242. Найти первый член и знаменатель прогрессии.

Решение:
Запишем формулы:
$S_3=\frac{b_1(q^3-1)}{q-1}=26$
$S_5=\frac{b_1(q^5-1)}{q-1}=242$

Разделим второе уравнение на первое:
$\frac{S_5}{S_3}=\frac{q^5-1}{q^3-1}=\frac{242}{26}=\frac{121}{13}$

Разложим числитель и знаменатель на множители:
$q^5-1=(q-1)(q^4+q^3+q^2+q+1)$
$q^3-1=(q-1)(q^2+q+1)$

Сокращаем $(q-1)$:
$\frac{q^4+q^3+q^2+q+1}{q^2+q+1}=\frac{121}{13}$

Умножим обе части на знаменатель:
$13(q^4+q^3+q^2+q+1)=121(q^2+q+1)$
$13q^4+13q^3+13q^2+13q+13=121q^2+121q+121$
$13q^4+13q^3+13q^2+13q+13-121q^2-121q-121=0$
$13q^4+13q^3-108q^2-108q-108=0$

Делим на 13:
$q^4+q^3-\frac{108}{13}{q}^2-\frac{108}{13}q-\frac{108}{13}=0$

Это уравнение сложно решить в общем виде. Заметим, что $q=3$ может быть корнем:
$81+27-\frac{108}{13}\cdot 9-\frac{108}{13}\cdot 3-\frac{108}{13}=108-\frac{108}{13}(9+3+1)=108-\frac{108}{13}\cdot 13=108-108=0$

Да, $q=3$ подходит. Тогда из $S_3=26$:
$\frac{b_1(27-1)}{2}=\frac{b_1\cdot 26}{2}=13b_1=26$ → $b_1=2$

Ответ: $b_1=2$, $q=3$