Текст учебника. Урок 11. Сумма первых n членов геометрической прогрессии.

Для полноты приведём строгое доказательство методом математической индукции.

База индукции: при $n=1$ формула даёт $S_1=\frac{b_1(q-1)}{q-1}=b_1$ — верно.

Индукционный переход: предположим, что формула верна для $n=k$:
$S_k=\frac{b_1(q^k-1)}{q-1}$

Тогда $S_{k+1}=S_k+b_{k+1}=\frac{b_1(q^k-1)}{q-1}+b_1{q}^k$

Приведём к общему знаменателю:
$S_{k+1}=\frac{b_1(q^k-1)+b_1{q}^k(q-1)}{q-1}=\frac{b_1(q^k-1+q^{k+1}-q^k)}{q-1}=\frac{b_1(q^{k+1}-1)}{q-1}$

Что и требовалось доказать.