Текст учебника. Урок 15. Понятие о непрерывности функции. Преобразование графиков. | Преобразования графиков функций

3. Преобразования графиков функций

Очень часто нам нужно построить график функции, который является результатом преобразования известного графика. Рассмотрим основные виды преобразований.

3.1. Параллельный перенос (сдвиг)

3.1.1. Сдвиг вдоль оси OY (вертикальный перенос)

Правило: График функции $y = f (x) + a$ получается из графика $y = f (x)$ сдвигом вдоль оси OY на $∣ a ∣$ единиц:

вверх, если $a > 0$
вниз, если $a < 0$

Пример 6: $y = x^{2} + 3$ — парабола $y = x^{2}$ , сдвинутая вверх на 3 единицы.

Пример 7: $y = \sqrt{x} - 2$ — график квадратного корня, сдвинутый вниз на 2 единицы.

3.1.2. Сдвиг вдоль оси OX (горизонтальный перенос)

Правило: График функции $y = f (x - a)$ получается из графика $y = f (x)$ сдвигом вдоль оси OX на $∣ a ∣$ единиц:

вправо, если $a > 0$
влево, если $a < 0$

Важно: знак в скобке противоположен направлению сдвига! $x - a$ — сдвиг вправо на $a$ , $x + a$ — сдвиг влево на $a$ .

Пример 8: $y = (x - 2)^{2}$ — парабола $y = x^{2}$ , сдвинутая вправо на 2 единицы.

Пример 9: $y = \sqrt{x + 1}$ — график квадратного корня, сдвинутый влево на 1 единицу.

3.2. Растяжение и сжатие

3.2.1. Растяжение/сжатие вдоль оси OY

Правило: График функции $y = k \cdot f (x)$ получается из графика $y = f (x)$ :

растяжением в $k$ раз вдоль оси OY, если $k > 1$
сжатием в $1 / k$ раз вдоль оси OY, если $0 < k < 1$

Пример 10: $y = 2 x^{2}$ — парабола $y = x^{2}$ , растянутая в 2 раза по вертикали (более крутая).

Пример 11: $y = \frac{1}{2} \sqrt{x}$ — график корня, сжатый в 2 раза по вертикали (более пологий).

3.2.2. Растяжение/сжатие вдоль оси OX

Правило: График функции $y = f (k x)$ получается из графика $y = f (x)$ :

сжатием в $k$ раз вдоль оси OX, если $k > 1$
растяжением в $1 / k$ раз вдоль оси OX, если $0 < k < 1$

Пример 12: $y = (2 x)^{2} = 4 x^{2}$ — парабола $y = x^{2}$ , сжатая в 2 раза по горизонтали.

Пример 13: $y = \sqrt{\frac{x}{2}}$ — график корня, растянутый в 2 раза по горизонтали.

3.3. Отражение (симметрия)

3.3.1. Отражение относительно оси OX

Правило: График функции $y = - f (x)$ получается из графика $y = f (x)$ зеркальным отражением относительно оси OX.

Пример 14: $y = - x^{2}$ — парабола $y = x^{2}$ , отражённая относительно оси OX (ветви вниз).

Пример 15: $y = - \sqrt{x}$ — график корня, отражённый относительно оси OX.

3.3.2. Отражение относительно оси OY

Правило: График функции $y = f (- x)$ получается из графика $y = f (x)$ зеркальным отражением относительно оси OY.

Пример 16: $y = (- x)^{2} = x^{2}$ — отражение не меняет график, так как функция чётная.

Пример 17: $y = \sqrt{- x}$ — график корня, отражённый относительно оси OY (определён при $x \leq 0$ ).