Алгебра, полный курс для 9 класса

Для полного понимания поведения функции необходимо провести её исследование по определённому плану. Это помогает не только при построении графиков, но и при решении уравнений и неравенств.

1.1. Полная схема исследования функции

1. Область определения функции $D(f)$

• Все значения $x$, при которых функция определена.

• Для рациональных функций: знаменатель ≠ 0.

• Для корней чётной степени: подкоренное выражение ≥ 0.

• Для степеней с дробным показателем: учёт чётности знаменателя.

2. Чётность / нечётность функции

• Если $f(-x)=f(x)$ для всех $x$ из области определения — функция чётная (график симметричен относительно оси OY).

• Если $f(-x)=-f(x)$ для всех $x$ из области определения — функция нечётная (график симметричен относительно начала координат).

• Если ни то, ни другое — функция общего вида.

3. Нули функции и точки пересечения с осями

• Нули функции: решаем уравнение $f(x)=0$.

• Пересечение с осью OY: $x=0$, находим $f(0)$, если 0 входит в ОДЗ.

4. Промежутки знакопостоянства

• Определяем, где $f(x)>0$ и где $f(x)<0$.

• Используем метод интервалов (для непрерывных функций).

5. Непрерывность и точки разрыва

• Определяем, где функция непрерывна.

• Находим точки разрыва (если есть) и их тип.

6. Монотонность (промежутки возрастания и убывания)

• Определяем, где функция возрастает, где убывает.

• В 9 классе используем известные свойства элементарных функций или графический метод.

7. Ограниченность функции

• Функция ограничена сверху, если существует число $M$ такое, что $f(x)\le M$ для всех $x$.

• Функция ограничена снизу, если существует число $m$ такое, что $f(x)\ge m$ для всех $x$.

• Функция ограничена, если она ограничена и сверху, и снизу.

8. Наибольшее и наименьшее значения

• Если функция непрерывна на отрезке, она достигает своего наибольшего и наименьшего значений (теорема Вейерштрасса).

• Находим эти значения (в 9 классе — по графику или из свойств).

9. Область значений функции $E(f)$

• Все значения, которые принимает функция.

1.2. Пример 1: Исследование функции по формуле

Исследовать функцию $f(x)=\frac{x}{x-2}$.

Решение:

1. Область определения: знаменатель ≠ 0 → $x\mathrm{\ne }2$.
   $D(f)=(-\mathrm{\infty };2)\cup (2;+\mathrm{\infty })$

2. Чётность/нечётность:
   $f(-x)=\frac{-x}{-x-2}=\frac{-x}{-(x+2)}=\frac{x}{x+2}\mathrm{\ne }f(x)$ и $\mathrm{\ne }-f(x)$.
   Функция общего вида.

3. Нули функции: $f(x)=0$ при $x=0$.
   Пересечение с OY: $f(0)=0$ → точка $(0;0)$.

4. Промежутки знакопостоянства:
   Используем метод интервалов. Нули числителя: $x=0$; нули знаменателя: $x=2$.
   Точки разбивают прямую: $(-\mathrm{\infty };0)$, $(0;2)$, $(2;+\mathrm{\infty })$.
   Определяем знак:

   • При $x=-1$: $f(-1)=\frac{-1}{-3}=\frac{1}{3}>0$ → на $(-\mathrm{\infty };0)$ знак "+"

   • При $x=1$: $f(1)=\frac{1}{-1}=-1<0$ → на $(0;2)$ знак "-"

   • При $x=3$: $f(3)=\frac{3}{1}=3>0$ → на $(2;+\mathrm{\infty })$ знак "+"

   Итак: $f(x)>0$ на $(-\mathrm{\infty };0)\cup (2;+\mathrm{\infty })$; $f(x)<0$ на $(0;2)$.

5. Непрерывность: функция непрерывна на $(-\mathrm{\infty };2)$ и на $(2;+\mathrm{\infty })$. В точке $x=2$ — разрыв II рода (бесконечный).

6. Монотонность:
   Для $x<2$: при возрастании $x$ от $-\mathrm{\infty }$ до 2 значения сначала положительны, убывают до 0, затем становятся отрицательными и стремятся к $-\mathrm{\infty }$. Функция убывает на каждом из промежутков $(-\mathrm{\infty };2)$? Проверим:
   Возьмём $x_1=0$, $x_2=1$: $f(0)=0$, $f(1)=-1$ — убывает.
   На $(2;+\mathrm{\infty })$: $x_1=3$, $x_2=4$: $f(3)=3$, $f(4)=2$ — убывает.
   Значит, функция убывает на $(-\mathrm{\infty };2)$ и на $(2;+\mathrm{\infty })$.

7. Ограниченность:
   При $x\to 2^{-}$ $f(x)\to -\mathrm{\infty }$, при $x\to 2^{+}$ $f(x)\to +\mathrm{\infty }$ — не ограничена.
   Снизу не ограничена, сверху не ограничена.

8. Наибольшее/наименьшее значения: нет (на всей области определения).

9. Область значений: так как функция принимает все значения, кроме, возможно, некоторых?
   Из графика видно, что все значения, кроме 1, достигаются. Проверим: решим $f(x)=a$:
   $\frac{x}{x-2}=a\Rightarrow x=a(x-2)\Rightarrow x=ax-2a\Rightarrow x-ax=-2a\Rightarrow x(1-a)=-2a\Rightarrow x=\frac{-2a}{1-a}$
   При $a=1$ знаменатель 0 — решений нет. Значит, $y=1$ не достигается.
   $E(f)=(-\mathrm{\infty };1)\cup (1;+\mathrm{\infty })$.