Здравствуйте, девятиклассники! Садитесь. Сегодня начнем с повторения. Посмотрите на доску: нам нужно решить неравенство икс в квадрате минус пять икс плюс шесть больше нуля. Это квадратное неравенство. Находим корни уравнения — это два и три. Ветви параболы смотрят вверх, значит, решением будут все иксы, кроме отрезка между корнями. Ответ: от минус бесконечности до двух и от трех до бесконечности.

А вот второй пример: произведение (икс минус один) на (икс плюс два) и на (икс минус четыре) меньше или равно нулю. Здесь мы используем метод интервалов. Отмечаем на прямой точки: минус два, один и четыре. Проверяем знаки на промежутках. Там, где минус, нас интересует. Получаем решение: икс принадлежит отрезку от минус двух до единицы и от четырех до бесконечности, включая сами точки.

Повторили. Теперь новая тема. Мы переходим к неравенствам рациональным. Что это такое? Это когда одна дробь сравнивается с нулем. В числителе — многочлен, в знаменателе — тоже многочлен. Выглядит это так: дробь, где сверху пэ от икс, снизу ку от икс, и все это больше, меньше, либо равно нулю.

Главное правило, которое нельзя забывать: знаменатель никогда не должен обращаться в ноль. Это наша Область Допустимых Значений, или сокращенно ОДЗ. Например, если в знаменателе икс плюс три, мы сразу говорим: икс не равен минус трем. А если знаменатель икс в квадрате плюс пять, то можно вздохнуть спокойно — эта сумма всегда положительна, значит, икс может быть любым.

Идем дальше. Очень важное понятие — равносильность. Это когда два неравенства выглядят по-разному, а решения у них одинаковые. Согласитесь, удобно: мы можем менять облик неравенства, упрощать его, лишь бы не потерять корни и не захватить лишних.

Есть два простых правила. Во-первых, слагаемые можно переносить из одной части в другую, меняя знак. Например, если три икс минус пять больше, чем два икс плюс один, мы спокойно переносим иксы влево, числа вправо и получаем равносильное неравенство.

Во-вторых, можно умножать обе части на число. Но тут внимание! Если число положительное, знак неравенства остается тем же. Умножили на два — и порядок. А если число отрицательное, знак неравенства нужно развернуть. Например, минус одна треть икс больше шести. Умножаем на минус три и получаем: икс уже меньше минус восемнадцати. Это важно запомнить.

А теперь самое интересное — теорема, которая связывает дроби и произведения. Смотрите: у нас есть дробь, которая больше нуля. Когда дробь положительна? Когда числитель и знаменатель одного знака: либо оба плюс, либо оба минус. А что значит, что два числа одного знака? Это значит, что их произведение тоже положительно.

Так вот, теорема звучит так: неравенство вида дробь больше нуля равносильно неравенству произведение числителя на знаменатель больше нуля. Но с одним условием: знаменатель исходной дроби не равен нулю. Для нестрогих неравенств, где знак «больше или равно», мы просто добавляем условие, что знаменатель не должен обнуляться, и всё.

Давайте посмотрим на примере. Возьмем дробь икс минус два, деленное на икс плюс один, и все это больше нуля. По теореме переходим к произведению: (икс минус два) умножить на (икс плюс один) больше нуля. Не забываем: икс не равен минус единице. Решаем произведение методом интервалов. Корни — минус один и два. Расставляем знаки. Получаем ответ: от минус бесконечности до минус одного и от двух до бесконечности. Точка минус один и так выколота, так что все красиво.

Другой пример — неравенство икс в квадрате минус девять, деленное на икс минус один, меньше или равно нулю. Снова применяем теорему, но теперь уже с учетом нестрогости. Переходим к системе: произведение (икс в квадрате минус девять) на (икс минус один) меньше или равно нулю, и при этом икс не равен единице. Раскладываем числитель на множители: (икс минус три) на (икс плюс три). Метод интервалов дает нам точки минус три, один и три. Расставляем знаки. Нам нужны минусы. Получаем промежутки от минус бесконечности до минус трех и от единицы до трех. Но точка один под запретом, поэтому в ответе она будет выколота, а тройка включена.

Вот так, используя понятие равносильности, мы сводим дробное неравенство к более простому — произведению множителей. Запишите домашнее задание и подумайте над доказательством для случая, когда дробь меньше нуля. На этом всё, спасибо за урок.

Последнее изменение: понедельник, 23 февраля 2026, 15:20